Trigonometrie Beispiele

$- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = - \sin (x + 1)$

Schritt 1

Vereinfache $- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)$ .

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Schritt 1.1

Stelle $- \sin^{2} (x)$ und $\cos^{2} (x)$ um.

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x) = - \sin (x + 1)$

Schritt 1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = \cos (x)$ und $b = \sin (x)$ .

$(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x)) = - \sin (x + 1)$

Schritt 1.3

Multipliziere $(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\cos (x) (\cos (x) - \sin (x)) + \sin (x) (\cos (x) - \sin (x)) = - \sin (x + 1)$

Schritt 1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) (\cos (x) - \sin (x)) = - \sin (x + 1)$

Schritt 1.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x)) = - \sin (x + 1)$

Schritt 1.4

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.4.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$ .

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Schritt 1.4.1.1

Ordne die Faktoren in den Termen $\cos (x) (- \sin (x))$ und $\sin (x) \cos (x)$ neu an.

$\cos (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x)) = - \sin (x + 1)$

Schritt 1.4.1.2

Addiere $- \cos (x) \sin (x)$ und $\cos (x) \sin (x)$ .

$\cos (x) \cos (x) + 0 + \sin (x) (- \sin (x)) = - \sin (x + 1)$

Schritt 1.4.1.3

Addiere $\cos (x) \cos (x)$ und $0$ .

$\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x)) = - \sin (x + 1)$

Schritt 1.4.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.2.1

Multipliziere $\cos (x) \cos (x)$ .

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Schritt 1.4.2.1.1

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\cos^{1} (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x)) = - \sin (x + 1)$

Schritt 1.4.2.1.2

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \sin (x) (- \sin (x)) = - \sin (x + 1)$

Schritt 1.4.2.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \sin (x)) = - \sin (x + 1)$

Schritt 1.4.2.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x)) = - \sin (x + 1)$

Schritt 1.4.2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\cos^{2} (x) - \sin (x) \sin (x) = - \sin (x + 1)$

Schritt 1.4.2.3

Multipliziere $- \sin (x) \sin (x)$ .

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Schritt 1.4.2.3.1

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x)) = - \sin (x + 1)$

Schritt 1.4.2.3.2

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) = - \sin (x + 1)$

Schritt 1.4.2.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1} = - \sin (x + 1)$

Schritt 1.4.2.3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x) = - \sin (x + 1)$

Schritt 1.5

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Kosinus an.

$\cos (2 x) = - \sin (x + 1)$

Schritt 2

Stelle jede Seite der Gleichung graphisch dar. Die Lösung ist der x-Wert des Schnittpunktes.

$x \approx 1.23746299 + 2 π n, 2.57079632 + 2 π n, 3.33185809 + 2 π n, 5.42625319 + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 3