Trigonometrie Beispiele

$\sec^{2} (x) (1 + \sin (2 x)) = {(1 \tan (x))}^{2}$

Schritt 1

Vereinfache $\sec^{2} (x) (1 + \sin (2 x))$ .

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Schritt 1.1

Schreibe $\sec (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} (1 + \sin (2 x)) = {(1 \tan (x))}^{2}$

Schritt 1.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.2.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\cos (x)}$ an.

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} (1 + \sin (2 x)) = {(1 \tan (x))}^{2}$

Schritt 1.2.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} (1 + \sin (2 x)) = {(1 \tan (x))}^{2}$

Schritt 1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot 1 + \frac{1}{\cos^{2} (x)} \sin (2 x) = {(1 \tan (x))}^{2}$

Schritt 1.2.4

Mutltipliziere $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ mit $1$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)} \sin (2 x) = {(1 \tan (x))}^{2}$

Schritt 1.2.5

Kombiniere $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ und $\sin (2 x)$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (2 x)}{\cos^{2} (x)} = {(1 \tan (x))}^{2}$

Schritt 1.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.1

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Sinus an.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x) \cos (x)}{\cos^{2} (x)} = {(1 \tan (x))}^{2}$

Schritt 1.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $\cos (x)$ und $\cos^{2} (x)$ .

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Schritt 1.3.2.1

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $2 \sin (x) \cos (x)$ heraus.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{\cos (x) (2 \sin (x))}{\cos^{2} (x)} = {(1 \tan (x))}^{2}$

Schritt 1.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.3.2.2.1

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $\cos^{2} (x)$ heraus.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{\cos (x) (2 \sin (x))}{\cos (x) \cos (x)} = {(1 \tan (x))}^{2}$

Schritt 1.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{\cos (x) (2 \sin (x))}{\cos (x) \cos (x)} = {(1 \tan (x))}^{2}$

Schritt 1.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} = {(1 \tan (x))}^{2}$

Schritt 1.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} = {(1 \tan (x))}^{2}$

Schritt 1.4.2

Schreibe $\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$ als ${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$ um.

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} + \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} = {(1 \tan (x))}^{2}$

Schritt 1.4.3

Wandle von $\frac{1}{\cos (x)}$ nach $\sec (x)$ um.

$\sec^{2} (x) + \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} = {(1 \tan (x))}^{2}$

Schritt 1.4.4

Separiere Brüche.

$\sec^{2} (x) + \frac{2}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = {(1 \tan (x))}^{2}$

Schritt 1.4.5

Wandle von $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ nach $\tan (x)$ um.

$\sec^{2} (x) + \frac{2}{1} \tan (x) = {(1 \tan (x))}^{2}$

Schritt 1.4.6

Dividiere $2$ durch $1$ .

$\sec^{2} (x) + 2 \tan (x) = {(1 \tan (x))}^{2}$

Schritt 2

Mutltipliziere $\tan (x)$ mit $1$ .

$\sec^{2} (x) + 2 \tan (x) = \tan^{2} (x)$

Schritt 3

Stelle jede Seite der Gleichung graphisch dar. Die Lösung ist der x-Wert des Schnittpunktes.

$x \approx - 0.4636476, 2.67794504, - 3.60524026, 5.81953769, - 6.74683291, 8.96113035, - 9.88842556$

Schritt 4