Trigonometrie Beispiele

$2 \sin^{2} (x) - \sin (x) = 0$

Schritt 1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Es sei

$u = \sin (x)$ . Ersetze

$u$ für alle

$\sin (x)$ .

$2 u^{2} - u = 0$

Schritt 1.2

Faktorisiere

$u$ aus

$2 u^{2} - u$ heraus.

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere

$u$ aus

$2 u^{2}$ heraus.

$u (2 u) - u = 0$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere

$u$ aus

$- u$ heraus.

$u (2 u) + u \cdot - 1 = 0$

Schritt 1.2.3

Faktorisiere

$u$ aus

$u (2 u) + u \cdot - 1$ heraus.

$u (2 u - 1) = 0$

Schritt 1.3

Ersetze alle

$u$ durch

$\sin (x)$ .

$\sin (x) (2 \sin (x) - 1) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich

$0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich

$0$ .

$\sin (x) = 0$

$2 \sin (x) - 1 = 0$

Schritt 3

Setze

$\sin (x)$ gleich

$0$ und löse nach

$x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Setze

$\sin (x)$ gleich

$0$ .

$\sin (x) = 0$

Schritt 3.2

Löse

$\sin (x) = 0$ nach

$x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um

$x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (0)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1

Der genau Wert von

$\arcsin (0)$ ist

$0$ .

$x = 0$

Schritt 3.2.3

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von

$π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$x = π - 0$

Schritt 3.2.4

Subtrahiere

$0$ von

$π$ .

$x = π$

Schritt 3.2.5

Ermittele die Periode von

$\sin (x)$ .

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Schritt 3.2.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von

$\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 3.2.5.2

Ersetze

$b$ durch

$1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 3.2.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen

$0$ und

$1$ ist

$1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 3.2.5.4

Dividiere

$2 π$ durch

$1$ .

$2 π$

Schritt 3.2.6

Die Periode der Funktion

$\sin (x)$ ist

$2 π$ , d. h., Werte werden sich alle

$2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , für jede ganze Zahl

$n$

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , für jede ganze Zahl

$n$

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , für jede ganze Zahl

$n$

Schritt 4

Setze

$2 \sin (x) - 1$ gleich

$0$ und löse nach

$x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze

$2 \sin (x) - 1$ gleich

$0$ .

$2 \sin (x) - 1 = 0$

Schritt 4.2

Löse

$2 \sin (x) - 1 = 0$ nach

$x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Addiere

$1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 \sin (x) = 1$

Schritt 4.2.2

Teile jeden Ausdruck in

$2 \sin (x) = 1$ durch

$2$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in

$2 \sin (x) = 1$ durch

$2$ .

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$2$ .

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Schritt 4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 4.2.2.2.1.2

Dividiere

$\sin (x)$ durch

$1$ .

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

Schritt 4.2.3

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um

$x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Schritt 4.2.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.4.1

Der genau Wert von

$\arcsin (\frac{1}{2})$ ist

$\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Schritt 4.2.5

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von

$π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$x = π - \frac{π}{6}$

Schritt 4.2.6

Vereinfache

$π - \frac{π}{6}$ .

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Schritt 4.2.6.1

$π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit

$\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Schritt 4.2.6.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.2.6.2.1

Kombiniere

$π$ und

$\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Schritt 4.2.6.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Schritt 4.2.6.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.6.3.1

Bringe

$6$ auf die linke Seite von

$π$ .

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Schritt 4.2.6.3.2

Subtrahiere

$π$ von

$6 π$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Schritt 4.2.7

Ermittele die Periode von

$\sin (x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von

$\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 4.2.7.2

Ersetze

$b$ durch

$1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 4.2.7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen

$0$ und

$1$ ist

$1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 4.2.7.4

Dividiere

$2 π$ durch

$1$ .

$2 π$

Schritt 4.2.8

Die Periode der Funktion

$\sin (x)$ ist

$2 π$ , d. h., Werte werden sich alle

$2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl

$n$

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl

$n$

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl

$n$

Schritt 5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die

$\sin (x) (2 \sin (x) - 1) = 0$ wahr machen.

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl

$n$

Schritt 6

Führe

$2 π n$ und

$π + 2 π n$ zu

$π n$ zusammen.

$x = π n, \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl

$n$