Trigonometrie Beispiele

$2 \sin (2 x) \cos (2 x) \cdot 2 = 0$

Schritt 1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$\sin (2 x) = 0$

$\cos (2 x) = 0$

Schritt 2

Setze $\sin (2 x)$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Setze $\sin (2 x)$ gleich $0$ .

$\sin (2 x) = 0$

Schritt 2.2

Löse $\sin (2 x) = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$2 x = \arcsin (0)$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.2.1

Der genau Wert von $\arcsin (0)$ ist $0$ .

$2 x = 0$

Schritt 2.2.3

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 0$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 0$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 2.2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 2.2.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Schritt 2.2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.3.3.1

Dividiere $0$ durch $2$ .

$x = 0$

Schritt 2.2.4

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$2 x = π - 0$

Schritt 2.2.5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.5.1

Vereinfache.

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Schritt 2.2.5.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$2 x = π + 0$

Schritt 2.2.5.1.2

Addiere $π$ und $0$ .

$2 x = π$

Schritt 2.2.5.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = π$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = π$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

Schritt 2.2.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

Schritt 2.2.5.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{π}{2}$

Schritt 2.2.6

Ermittele die Periode von $\sin (2 x)$ .

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Schritt 2.2.6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 2.2.6.2

Ersetze $b$ durch $2$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Schritt 2.2.6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $2$ ist $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Schritt 2.2.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 π}{2}$

Schritt 2.2.6.4.2

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 2.2.7

Die Periode der Funktion $\sin (2 x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = π n, \frac{π}{2} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 3

Setze $\cos (2 x)$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Setze $\cos (2 x)$ gleich $0$ .

$\cos (2 x) = 0$

Schritt 3.2

Löse $\cos (2 x) = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$2 x = \arccos (0)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Der genau Wert von $\arccos (0)$ ist $\frac{π}{2}$ .

$2 x = \frac{π}{2}$

Schritt 3.2.3

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \frac{π}{2}$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \frac{π}{2}$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Schritt 3.2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Schritt 3.2.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Schritt 3.2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.3.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 3.2.3.3.2

Multipliziere $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 3.2.3.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{π}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.2.3.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{π}{4}$

Schritt 3.2.4

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$2 x = 2 π - \frac{π}{2}$

Schritt 3.2.5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.5.1

Vereinfache.

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Schritt 3.2.5.1.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$2 x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 3.2.5.1.2

Kombiniere $2 π$ und $\frac{2}{2}$ .

$2 x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 3.2.5.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 3.2.5.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$2 x = \frac{4 π - π}{2}$

Schritt 3.2.5.1.5

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$2 x = \frac{3 π}{2}$

Schritt 3.2.5.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \frac{3 π}{2}$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \frac{3 π}{2}$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Schritt 3.2.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Schritt 3.2.5.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Schritt 3.2.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.5.2.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 3.2.5.2.3.2

Multipliziere $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 3.2.5.2.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{3 π}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.2.5.2.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Schritt 3.2.6

Ermittele die Periode von $\cos (2 x)$ .

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Schritt 3.2.6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 3.2.6.2

Ersetze $b$ durch $2$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Schritt 3.2.6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $2$ ist $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Schritt 3.2.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 π}{2}$

Schritt 3.2.6.4.2

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 3.2.7

Die Periode der Funktion $\cos (2 x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $2 \sin (2 x) \cos (2 x) \cdot 2 = 0$ wahr machen.

$x = π n, \frac{π}{2} + π n, \frac{π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 5

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{π n}{4}$ , für jede ganze Zahl $n$