Trigonometrie Beispiele

$\log_{7} (x) = 1 - \log_{7} (x - 6)$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\log_{7} (x) + \log_{7} (x - 6) = 1$

Schritt 2

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{7} (x (x - 6)) = 1$

Schritt 3

Wende das Distributivgesetz an.

$\log_{7} (x \cdot x + x \cdot - 6) = 1$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\log_{7} (x^{2} + x \cdot - 6) = 1$

Schritt 4.2

Bringe $- 6$ auf die linke Seite von $x$ .

$\log_{7} (x^{2} - 6 x) = 1$

Schritt 5

Schreibe $\log_{7} (x^{2} - 6 x) = 1$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$7^{1} = x^{2} - 6 x$

Schritt 6

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Schreibe die Gleichung als $x^{2} - 6 x = 7^{1}$ um.

$x^{2} - 6 x = 7$

Schritt 6.2

Subtrahiere $7$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 6 x - 7 = 0$

Schritt 6.3

Faktorisiere $x^{2} - 6 x - 7$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 6.3.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 7$ und deren Summe $- 6$ ist.

$- 7, 1$

Schritt 6.3.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 7) (x + 1) = 0$

Schritt 6.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 7 = 0$

$x + 1 = 0$

Schritt 6.5

Setze $x - 7$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.5.1

Setze $x - 7$ gleich $0$ .

$x - 7 = 0$

Schritt 6.5.2

Addiere $7$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 7$

Schritt 6.6

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.6.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 6.6.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 6.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 7) (x + 1) = 0$ wahr machen.

$x = 7, - 1$

Schritt 7

Schließe die Lösungen aus, die $\log_{7} (x) = 1 - \log_{7} (x - 6)$ nicht erfüllen.

$x = 7$