Trigonometrie Beispiele

$\log_{6} (2 x - 1) + \log_{6} (4 x + 3) = 2$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{6} ((2 x - 1) (4 x + 3)) = 2$

Schritt 1.2

Multipliziere $(2 x - 1) (4 x + 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\log_{6} (2 x (4 x + 3) - 1 (4 x + 3)) = 2$

Schritt 1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\log_{6} (2 x (4 x) + 2 x \cdot 3 - 1 (4 x + 3)) = 2$

Schritt 1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\log_{6} (2 x (4 x) + 2 x \cdot 3 - 1 (4 x) - 1 \cdot 3) = 2$

Schritt 1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\log_{6} (2 \cdot (4 x \cdot x) + 2 x \cdot 3 - 1 (4 x) - 1 \cdot 3) = 2$

Schritt 1.3.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.3.1.2.1

Bewege $x$ .

$\log_{6} (2 \cdot (4 (x \cdot x)) + 2 x \cdot 3 - 1 (4 x) - 1 \cdot 3) = 2$

Schritt 1.3.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\log_{6} (2 \cdot (4 x^{2}) + 2 x \cdot 3 - 1 (4 x) - 1 \cdot 3) = 2$

Schritt 1.3.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$\log_{6} (8 x^{2} + 2 x \cdot 3 - 1 (4 x) - 1 \cdot 3) = 2$

Schritt 1.3.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\log_{6} (8 x^{2} + 6 x - 1 (4 x) - 1 \cdot 3) = 2$

Schritt 1.3.1.5

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\log_{6} (8 x^{2} + 6 x - 4 x - 1 \cdot 3) = 2$

Schritt 1.3.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\log_{6} (8 x^{2} + 6 x - 4 x - 3) = 2$

Schritt 1.3.2

Subtrahiere $4 x$ von $6 x$ .

$\log_{6} (8 x^{2} + 2 x - 3) = 2$

Schritt 2

Schreibe $\log_{6} (8 x^{2} + 2 x - 3) = 2$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$6^{2} = 8 x^{2} + 2 x - 3$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $8 x^{2} + 2 x - 3 = 6^{2}$ um.

$8 x^{2} + 2 x - 3 = 6^{2}$

Schritt 3.2

Potenziere $6$ mit $2$ .

$8 x^{2} + 2 x - 3 = 36$

Schritt 3.3

Bringe alle Terme auf die linke Seite der Gleichung und vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Subtrahiere $36$ von beiden Seiten der Gleichung.

$8 x^{2} + 2 x - 3 - 36 = 0$

Schritt 3.3.2

Subtrahiere $36$ von $- 3$ .

$8 x^{2} + 2 x - 39 = 0$

Schritt 3.4

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3.5

Setze die Werte $a = 8$ , $b = 2$ und $c = - 39$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (8 \cdot - 39)}}{2 \cdot 8}$

Schritt 3.6

Vereinfache.

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Schritt 3.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.6.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 8 \cdot - 39}}{2 \cdot 8}$

Schritt 3.6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 8 \cdot - 39$ .

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Schritt 3.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $8$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 32 \cdot - 39}}{2 \cdot 8}$

Schritt 3.6.1.2.2

Mutltipliziere $- 32$ mit $- 39$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 1248}}{2 \cdot 8}$

Schritt 3.6.1.3

Addiere $4$ und $1248$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{1252}}{2 \cdot 8}$

Schritt 3.6.1.4

Schreibe $1252$ als $2^{2} \cdot 313$ um.

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Schritt 3.6.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $1252$ heraus.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (313)}}{2 \cdot 8}$

Schritt 3.6.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 313}}{2 \cdot 8}$

Schritt 3.6.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{313}}{2 \cdot 8}$

Schritt 3.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{313}}{16}$

Schritt 3.6.3

Vereinfache $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{313}}{16}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{313}}{8}$

Schritt 3.7

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - \frac{1 - \sqrt{313}}{8}, - \frac{1 + \sqrt{313}}{8}$

Schritt 4

Schließe die Lösungen aus, die $\log_{6} (2 x - 1) + \log_{6} (4 x + 3) = 2$ nicht erfüllen.

$x = - \frac{1 - \sqrt{313}}{8}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = - \frac{1 - \sqrt{313}}{8}$

Dezimalform:

$x = 2.08647575 \dots$