Trigonometrie Beispiele

$\frac{\log (16 - x^{2})}{\log (3 x - 4)} = 2$

Schritt 1

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 1.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$\log (3 x - 4), 1$

Schritt 1.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$\log (3 x - 4)$

Schritt 2

Multipliziere jeden Term in $\frac{\log (16 - x^{2})}{\log (3 x - 4)} = 2$ mit $\log (3 x - 4)$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 2.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{\log (16 - x^{2})}{\log (3 x - 4)} = 2$ mit $\log (3 x - 4)$ .

$\frac{\log (16 - x^{2})}{\log (3 x - 4)} \log (3 x - 4) = 2 \log (3 x - 4)$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\log (3 x - 4)$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\log (16 - x^{2})}{\log (3 x - 4)} \log (3 x - 4) = 2 \log (3 x - 4)$

Schritt 2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\log (16 - x^{2}) = 2 \log (3 x - 4)$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache $2 \log (3 x - 4)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\log (16 - x^{2}) = \log ({(3 x - 4)}^{2})$

Schritt 3

Löse die Gleichung.

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Schritt 3.1

Damit die Gleichung erfüllt ist, müssen die Argumente der Logarithmen auf beiden Seiten der Gleichung gleich sein.

$16 - x^{2} = {(3 x - 4)}^{2}$

Schritt 3.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache ${(3 x - 4)}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Forme um.

$16 - x^{2} = 0 + 0 + {(3 x - 4)}^{2}$

Schritt 3.2.1.2

Schreibe ${(3 x - 4)}^{2}$ als $(3 x - 4) (3 x - 4)$ um.

$16 - x^{2} = (3 x - 4) (3 x - 4)$

Schritt 3.2.1.3

Multipliziere $(3 x - 4) (3 x - 4)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.2.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$16 - x^{2} = 3 x (3 x - 4) - 4 (3 x - 4)$

Schritt 3.2.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$16 - x^{2} = 3 x (3 x) + 3 x \cdot - 4 - 4 (3 x - 4)$

Schritt 3.2.1.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$16 - x^{2} = 3 x (3 x) + 3 x \cdot - 4 - 4 (3 x) - 4 \cdot - 4$

Schritt 3.2.1.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.2.1.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.4.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$16 - x^{2} = 3 \cdot 3 x \cdot x + 3 x \cdot - 4 - 4 (3 x) - 4 \cdot - 4$

Schritt 3.2.1.4.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.1.4.1.2.1

Bewege $x$ .

$16 - x^{2} = 3 \cdot 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 4 - 4 (3 x) - 4 \cdot - 4$

Schritt 3.2.1.4.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$16 - x^{2} = 3 \cdot 3 x^{2} + 3 x \cdot - 4 - 4 (3 x) - 4 \cdot - 4$

Schritt 3.2.1.4.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$16 - x^{2} = 9 x^{2} + 3 x \cdot - 4 - 4 (3 x) - 4 \cdot - 4$

Schritt 3.2.1.4.1.4

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$16 - x^{2} = 9 x^{2} - 12 x - 4 (3 x) - 4 \cdot - 4$

Schritt 3.2.1.4.1.5

Mutltipliziere $3$ mit $- 4$ .

$16 - x^{2} = 9 x^{2} - 12 x - 12 x - 4 \cdot - 4$

Schritt 3.2.1.4.1.6

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 4$ .

$16 - x^{2} = 9 x^{2} - 12 x - 12 x + 16$

Schritt 3.2.1.4.2

Subtrahiere $12 x$ von $- 12 x$ .

$16 - x^{2} = 9 x^{2} - 24 x + 16$

Schritt 3.2.2

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$9 x^{2} - 24 x + 16 = 16 - x^{2}$

Schritt 3.2.3

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.3.1

Addiere $x^{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$9 x^{2} - 24 x + 16 + x^{2} = 16$

Schritt 3.2.3.2

Addiere $9 x^{2}$ und $x^{2}$ .

$10 x^{2} - 24 x + 16 = 16$

Schritt 3.2.4

Subtrahiere $16$ von beiden Seiten der Gleichung.

$10 x^{2} - 24 x + 16 - 16 = 0$

Schritt 3.2.5

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $10 x^{2} - 24 x + 16 - 16$ .

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Schritt 3.2.5.1

Subtrahiere $16$ von $16$ .

$10 x^{2} - 24 x + 0 = 0$

Schritt 3.2.5.2

Addiere $10 x^{2} - 24 x$ und $0$ .

$10 x^{2} - 24 x = 0$

Schritt 3.2.6

Faktorisiere $2 x$ aus $10 x^{2} - 24 x$ heraus.

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Schritt 3.2.6.1

Faktorisiere $2 x$ aus $10 x^{2}$ heraus.

$2 x (5 x) - 24 x = 0$

Schritt 3.2.6.2

Faktorisiere $2 x$ aus $- 24 x$ heraus.

$2 x (5 x) + 2 x (- 12) = 0$

Schritt 3.2.6.3

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x (5 x) + 2 x (- 12)$ heraus.

$2 x (5 x - 12) = 0$

Schritt 3.2.7

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$5 x - 12 = 0$

Schritt 3.2.8

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 3.2.9

Setze $5 x - 12$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.9.1

Setze $5 x - 12$ gleich $0$ .

$5 x - 12 = 0$

Schritt 3.2.9.2

Löse $5 x - 12 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.9.2.1

Addiere $12$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$5 x = 12$

Schritt 3.2.9.2.2

Teile jeden Ausdruck in $5 x = 12$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.9.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $5 x = 12$ durch $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{12}{5}$

Schritt 3.2.9.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.9.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 3.2.9.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 x}{5} = \frac{12}{5}$

Schritt 3.2.9.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{12}{5}$

Schritt 3.2.10

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $2 x (5 x - 12) = 0$ wahr machen.

$x = 0, \frac{12}{5}$

Schritt 4

Schließe die Lösungen aus, die $\frac{\log (16 - x^{2})}{\log (3 x - 4)} = 2$ nicht erfüllen.

$x = \frac{12}{5}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{12}{5}$

Dezimalform:

$x = 2.4$

Darstellung als gemischte Zahl:

$x = 2 \frac{2}{5}$