Trigonometrie Beispiele

$\ln ({(3 x - 2)}^{2}) = 5$

Schritt 1

Schreibe in Exponentialform.

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Schritt 1.1

Für logarithmische Gleichungen ist $\log_{b} (x) = y$ äquivalent zu $b^{y} = x$ mit $x > 0$ , $b > 0$ , and $b \neq 1$ . In diesem Fall: $b = e$ , $x = {(3 x - 2)}^{2}$ und $y = 5$ .

$b = e$

$x = {(3 x - 2)}^{2}$

$y = 5$

Schritt 1.2

Setze die Werte von $b$ , $x$ , und $y$ in die Gleichung $b^{y} = x$ ein.

$e^{5} = {(3 x - 2)}^{2}$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als ${(3 x - 2)}^{2} = e^{5}$ um.

${(3 x - 2)}^{2} = e^{5}$

Schritt 2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$3 x - 2 = \pm \sqrt{e^{5}}$

Schritt 2.3

Vereinfache $\pm \sqrt{e^{5}}$ .

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Schritt 2.3.1

Schreibe $e^{5}$ als ${(e^{2})}^{2} e$ um.

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Schritt 2.3.1.1

Faktorisiere $e^{4}$ aus.

$3 x - 2 = \pm \sqrt{e^{4} e}$

Schritt 2.3.1.2

Schreibe $e^{4}$ als ${(e^{2})}^{2}$ um.

$3 x - 2 = \pm \sqrt{{(e^{2})}^{2} e}$

Schritt 2.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$3 x - 2 = \pm e^{2} \sqrt{e}$

Schritt 2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$3 x - 2 = e^{2} \sqrt{e}$

Schritt 2.4.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = e^{2} \sqrt{e} + 2$

Schritt 2.4.3

Teile jeden Ausdruck in $3 x = e^{2} \sqrt{e} + 2$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 2.4.3.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = e^{2} \sqrt{e} + 2$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{e^{2} \sqrt{e}}{3} + \frac{2}{3}$

Schritt 2.4.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.4.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{e^{2} \sqrt{e}}{3} + \frac{2}{3}$

Schritt 2.4.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{e^{2} \sqrt{e}}{3} + \frac{2}{3}$

Schritt 2.4.4

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$3 x - 2 = - e^{2} \sqrt{e}$

Schritt 2.4.5

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = - e^{2} \sqrt{e} + 2$

Schritt 2.4.6

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - e^{2} \sqrt{e} + 2$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 2.4.6.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - e^{2} \sqrt{e} + 2$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- e^{2} \sqrt{e}}{3} + \frac{2}{3}$

Schritt 2.4.6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.4.6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- e^{2} \sqrt{e}}{3} + \frac{2}{3}$

Schritt 2.4.6.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- e^{2} \sqrt{e}}{3} + \frac{2}{3}$

Schritt 2.4.6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.6.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{e^{2} \sqrt{e}}{3} + \frac{2}{3}$

Schritt 2.4.7

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{e^{2} \sqrt{e}}{3} + \frac{2}{3}, - \frac{e^{2} \sqrt{e}}{3} + \frac{2}{3}$

Schritt 3

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{e^{2} \sqrt{e}}{3} + \frac{2}{3}, - \frac{e^{2} \sqrt{e}}{3} + \frac{2}{3}$

Dezimalform:

$x = 4.72749798 \dots, - 3.39416465 \dots$