Trigonometrie Beispiele

$\csc^{2} (x) - \csc (x) - 2 = 0$

Schritt 1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Es sei

$u = \csc (x)$ . Ersetze

$u$ für alle

$\csc (x)$ .

$u^{2} - u - 2 = 0$

Schritt 1.2

Faktorisiere

$u^{2} - u - 2$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.2.1

Betrachte die Form

$x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt

$c$ und deren Summe

$b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt

$- 2$ und deren Summe

$- 1$ ist.

$- 2, 1$

Schritt 1.2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(u - 2) (u + 1) = 0$

Schritt 1.3

Ersetze alle

$u$ durch

$\csc (x)$ .

$(\csc (x) - 2) (\csc (x) + 1) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich

$0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich

$0$ .

$\csc (x) - 2 = 0$

$\csc (x) + 1 = 0$

Schritt 3

Setze

$\csc (x) - 2$ gleich

$0$ und löse nach

$x$ auf.

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Schritt 3.1

Setze

$\csc (x) - 2$ gleich

$0$ .

$\csc (x) - 2 = 0$

Schritt 3.2

Löse

$\csc (x) - 2 = 0$ nach

$x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Addiere

$2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\csc (x) = 2$

Schritt 3.2.2

Wende den inversen Kosekans auf beide Seiten der Gleichung an, um

$x$ aus dem Kosekans herauszuziehen.

$x = arccsc (2)$

Schritt 3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.3.1

Der genau Wert von

$arccsc (2)$ ist

$\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Schritt 3.2.4

Die Kosekansfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von

$π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$x = π - \frac{π}{6}$

Schritt 3.2.5

Vereinfache

$π - \frac{π}{6}$ .

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Schritt 3.2.5.1

$π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit

$\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Schritt 3.2.5.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.2.5.2.1

Kombiniere

$π$ und

$\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Schritt 3.2.5.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Schritt 3.2.5.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.5.3.1

Bringe

$6$ auf die linke Seite von

$π$ .

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Schritt 3.2.5.3.2

Subtrahiere

$π$ von

$6 π$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Schritt 3.2.6

Ermittele die Periode von

$\csc (x)$ .

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Schritt 3.2.6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von

$\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 3.2.6.2

Ersetze

$b$ durch

$1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 3.2.6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen

$0$ und

$1$ ist

$1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 3.2.6.4

Dividiere

$2 π$ durch

$1$ .

$2 π$

Schritt 3.2.7

Die Periode der Funktion

$\csc (x)$ ist

$2 π$ , d. h., Werte werden sich alle

$2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl

$n$

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl

$n$

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl

$n$

Schritt 4

Setze

$\csc (x) + 1$ gleich

$0$ und löse nach

$x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze

$\csc (x) + 1$ gleich

$0$ .

$\csc (x) + 1 = 0$

Schritt 4.2

Löse

$\csc (x) + 1 = 0$ nach

$x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere

$1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\csc (x) = - 1$

Schritt 4.2.2

Wende den inversen Kosekans auf beide Seiten der Gleichung an, um

$x$ aus dem Kosekans herauszuziehen.

$x = arccsc (- 1)$

Schritt 4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.3.1

Der genau Wert von

$arccsc (- 1)$ ist

$- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Schritt 4.2.4

The cosecant function is negative in the third and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the solution from

$2 π$ , to find a reference angle. Next, add this reference angle to

$π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Schritt 4.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 4.2.5.1

Subtrahiere

$2 π$ von

$2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Schritt 4.2.5.2

Der resultierende Winkel von

$\frac{3 π}{2}$ ist positiv, kleiner als

$2 π$ und gleich

$2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Schritt 4.2.6

Ermittele die Periode von

$\csc (x)$ .

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Schritt 4.2.6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von

$\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 4.2.6.2

Ersetze

$b$ durch

$1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 4.2.6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen

$0$ und

$1$ ist

$1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 4.2.6.4

Dividiere

$2 π$ durch

$1$ .

$2 π$

Schritt 4.2.7

Addiere

$2 π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 4.2.7.1

Addiere

$2 π$ zu

$- \frac{π}{2}$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Schritt 4.2.7.2

$2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit

$\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 4.2.7.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.2.7.3.1

Kombiniere

$2 π$ und

$\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 4.2.7.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 4.2.7.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.7.4.1

Mutltipliziere

$2$ mit

$2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Schritt 4.2.7.4.2

Subtrahiere

$π$ von

$4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Schritt 4.2.7.5

Liste die neuen Winkel auf.

$x = \frac{3 π}{2}$

Schritt 4.2.8

Die Periode der Funktion

$\csc (x)$ ist

$2 π$ , d. h., Werte werden sich alle

$2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl

$n$

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl

$n$

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl

$n$

Schritt 5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die

$(\csc (x) - 2) (\csc (x) + 1) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl

$n$

Schritt 6

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{π}{6} + \frac{2 π n}{3}$ , für jede ganze Zahl

$n$