Trigonometrie Beispiele

$\csc^{2} (x) = {(- \frac{1}{5})}^{2} + 1$

Schritt 1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\csc (x) = \pm \sqrt{{(- \frac{1}{5})}^{2} + 1}$

Schritt 2

Vereinfache $\pm \sqrt{{(- \frac{1}{5})}^{2} + 1}$ .

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Schritt 2.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 2.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{1}{5}$ an.

$\csc (x) = \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} {(\frac{1}{5})}^{2} + 1}$

Schritt 2.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{5}$ an.

$\csc (x) = \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{5^{2}} + 1}$

Schritt 2.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$\csc (x) = \pm \sqrt{1 \frac{1^{2}}{5^{2}} + 1}$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $\frac{1^{2}}{5^{2}}$ mit $1$ .

$\csc (x) = \pm \sqrt{\frac{1^{2}}{5^{2}} + 1}$

Schritt 2.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\csc (x) = \pm \sqrt{\frac{1}{5^{2}} + 1}$

Schritt 2.5

Potenziere $5$ mit $2$ .

$\csc (x) = \pm \sqrt{\frac{1}{25} + 1}$

Schritt 2.6

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\csc (x) = \pm \sqrt{\frac{1}{25} + \frac{25}{25}}$

Schritt 2.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\csc (x) = \pm \sqrt{\frac{1 + 25}{25}}$

Schritt 2.8

Addiere $1$ und $25$ .

$\csc (x) = \pm \sqrt{\frac{26}{25}}$

Schritt 2.9

Schreibe $\sqrt{\frac{26}{25}}$ als $\frac{\sqrt{26}}{\sqrt{25}}$ um.

$\csc (x) = \pm \frac{\sqrt{26}}{\sqrt{25}}$

Schritt 2.10

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.10.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$\csc (x) = \pm \frac{\sqrt{26}}{\sqrt{5^{2}}}$

Schritt 2.10.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\csc (x) = \pm \frac{\sqrt{26}}{5}$

Schritt 3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$\csc (x) = \frac{\sqrt{26}}{5}$

Schritt 3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$\csc (x) = - \frac{\sqrt{26}}{5}$

Schritt 3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$\csc (x) = \frac{\sqrt{26}}{5}, - \frac{\sqrt{26}}{5}$

Schritt 4

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $x$ aufzulösen.

$\csc (x) = \frac{\sqrt{26}}{5}$

$\csc (x) = - \frac{\sqrt{26}}{5}$

Schritt 5

Löse in $\csc (x) = \frac{\sqrt{26}}{5}$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Wende den inversen Kosekans auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosekans herauszuziehen.

$x = arccsc (\frac{\sqrt{26}}{5})$

Schritt 5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.1

Berechne $arccsc (\frac{\sqrt{26}}{5})$ .

$x = 1.37340076$

Schritt 5.3

Die Kosekansfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$x = (3.14159265) - 1.37340076$

Schritt 5.4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.4.1

Entferne die Klammern.

$x = 3.14159265 - 1.37340076$

Schritt 5.4.2

Entferne die Klammern.

$x = (3.14159265) - 1.37340076$

Schritt 5.4.3

Subtrahiere $1.37340076$ von $3.14159265$ .

$x = 1.76819188$

Schritt 5.5

Ermittele die Periode von $\csc (x)$ .

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Schritt 5.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 5.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 5.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 5.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 5.6

Die Periode der Funktion $\csc (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 1.37340076 + 2 π n, 1.76819188 + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 6

Löse in $\csc (x) = - \frac{\sqrt{26}}{5}$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Wende den inversen Kosekans auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosekans herauszuziehen.

$x = arccsc (- \frac{\sqrt{26}}{5})$

Schritt 6.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.1

Berechne $arccsc (- \frac{\sqrt{26}}{5})$ .

$x = - 1.37340076$

Schritt 6.3

The cosecant function is negative in the third and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the solution from $2 π$ , to find a reference angle. Next, add this reference angle to $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = 2 (3.14159265) + 1.37340076 + 3.14159265$

Schritt 6.4

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 6.4.1

Subtrahiere $2 π$ von $2 (3.14159265) + 1.37340076 + 3.14159265$ .

$x = 2 (3.14159265) + 1.37340076 + 3.14159265 - 2 π$

Schritt 6.4.2

Der resultierende Winkel von $4.51499342$ ist positiv, kleiner als $2 π$ und gleich $2 (3.14159265) + 1.37340076 + 3.14159265$ .

$x = 4.51499342$

Schritt 6.5

Ermittele die Periode von $\csc (x)$ .

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Schritt 6.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 6.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 6.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 6.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 6.6

Addiere $2 π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 6.6.1

Addiere $2 π$ zu $- 1.37340076$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- 1.37340076 + 2 π$

Schritt 6.6.2

Subtrahiere $1.37340076$ von $2 π$ .

$4.90978454$

Schritt 6.6.3

Liste die neuen Winkel auf.

$x = 4.90978454$

Schritt 6.7

Die Periode der Funktion $\csc (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 4.51499342 + 2 π n, 4.90978454 + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 7

Liste alle Lösungen auf.

$x = 1.37340076 + 2 π n, 1.76819188 + 2 π n, 4.51499342 + 2 π n, 4.90978454 + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 8

Fasse die Lösungen zusammen.

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Schritt 8.1

Führe $1.37340076 + 2 π n$ und $4.51499342 + 2 π n$ zu $1.37340076 + π n$ zusammen.

$x = 1.37340076 + π n, 1.76819188 + 2 π n, 4.90978454 + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 8.2

Führe $1.76819188 + 2 π n$ und $4.90978454 + 2 π n$ zu $1.76819188 + π n$ zusammen.

$x = 1.37340076 + π n, 1.76819188 + π n$ , für jede ganze Zahl $n$