Trigonometrie Beispiele

$\csc^{2} (x) \tan^{2} (x) - 2 = \tan^{2} (x)$

Schritt 1

Ersetze die $\csc^{2} (x)$ durch $\cot^{2} (x) + 1$ basierend auf der $\cot^{2} (x) + 1 = \csc^{2} (x)$ -Identitätsgleichung.

$(\cot^{2} (x) + 1) \tan^{2} (x) - 2 = \tan^{2} (x)$

Schritt 2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\cot^{2} (x) \tan^{2} (x) + 1 \tan^{2} (x) - 2 = \tan^{2} (x)$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $\tan^{2} (x)$ mit $1$ .

$\cot^{2} (x) \tan^{2} (x) + \tan^{2} (x) - 2 = \tan^{2} (x)$

Schritt 3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1

Vereinfache $\cot^{2} (x) \tan^{2} (x) + \tan^{2} (x) - 2$ .

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Schritt 3.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1.1

Schreibe $\cot (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

${(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2} \tan^{2} (x) + \tan^{2} (x) - 2 = \tan^{2} (x)$

Schritt 3.1.1.2

Schreibe $\tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

${(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2} {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} + \tan^{2} (x) - 2 = \tan^{2} (x)$

Schritt 3.1.1.3

Wende die Produktregel auf $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ an.

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} + \tan^{2} (x) - 2 = \tan^{2} (x)$

Schritt 3.1.1.4

Wende die Produktregel auf $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ an.

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \tan^{2} (x) - 2 = \tan^{2} (x)$

Schritt 3.1.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos^{2} (x)$ .

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Schritt 3.1.1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \tan^{2} (x) - 2 = \tan^{2} (x)$

Schritt 3.1.1.5.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} \sin^{2} (x) + \tan^{2} (x) - 2 = \tan^{2} (x)$

Schritt 3.1.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin^{2} (x)$ .

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Schritt 3.1.1.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} \sin^{2} (x) + \tan^{2} (x) - 2 = \tan^{2} (x)$

Schritt 3.1.1.6.2

Forme den Ausdruck um.

$1 + \tan^{2} (x) - 2 = \tan^{2} (x)$

Schritt 3.1.2

Ordne Terme um.

$\tan^{2} (x) + 1 - 2 = \tan^{2} (x)$

Schritt 3.1.3

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\sec^{2} (x) - 2 = \tan^{2} (x)$

Schritt 4

Ersetze die $\sec^{2} (x)$ durch $1 + \tan^{2} (x)$ basierend auf der $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ -Identitätsgleichung.

$(1 + \tan^{2} (x)) - 2 = \tan^{2} (x)$

Schritt 5

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\tan^{2} (x) - 1 = \tan^{2} (x)$

Schritt 6

Bringe alle Terme, die $\tan (x)$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 6.1

Subtrahiere $\tan^{2} (x)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\tan^{2} (x) - 1 - \tan^{2} (x) = 0$

Schritt 6.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\tan^{2} (x) - 1 - \tan^{2} (x)$ .

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Schritt 6.2.1

Subtrahiere $\tan^{2} (x)$ von $\tan^{2} (x)$ .

$0 - 1 = 0$

Schritt 6.2.2

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$- 1 = 0$

Schritt 7

Da $- 1 \neq 0$ , gibt es keine Lösungen.

Keine Lösung