Trigonometrie Beispiele

$\cot^{4} (x) - 4 \cot^{2} (x) + 3 = 0$

Schritt 1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Schreibe $\cot^{4} (x)$ als ${(\cot^{2} (x))}^{2}$ um.

${(\cot^{2} (x))}^{2} - 4 \cot^{2} (x) + 3 = 0$

Schritt 1.2

Es sei $u = \cot^{2} (x)$ . Ersetze $u$ für alle $\cot^{2} (x)$ .

$u^{2} - 4 u + 3 = 0$

Schritt 1.3

Faktorisiere $u^{2} - 4 u + 3$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.3.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $3$ und deren Summe $- 4$ ist.

$- 3, - 1$

Schritt 1.3.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(u - 3) (u - 1) = 0$

Schritt 1.4

Ersetze alle $u$ durch $\cot^{2} (x)$ .

$(\cot^{2} (x) - 3) (\cot^{2} (x) - 1) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$\cot^{2} (x) - 3 = 0$

$\cot^{2} (x) - 1 = 0$

Schritt 3

Setze $\cot^{2} (x) - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Setze $\cot^{2} (x) - 3$ gleich $0$ .

$\cot^{2} (x) - 3 = 0$

Schritt 3.2

Löse $\cot^{2} (x) - 3 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\cot^{2} (x) = 3$

Schritt 3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cot (x) = \pm \sqrt{3}$

Schritt 3.2.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.2.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$\cot (x) = \sqrt{3}$

Schritt 3.2.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$\cot (x) = - \sqrt{3}$

Schritt 3.2.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$\cot (x) = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Schritt 3.2.4

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $x$ aufzulösen.

$\cot (x) = \sqrt{3}$

$\cot (x) = - \sqrt{3}$

Schritt 3.2.5

Löse in $\cot (x) = \sqrt{3}$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.5.1

Wende den inversen Kotangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kotangens herauszuziehen.

$x = arccot (\sqrt{3})$

Schritt 3.2.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.5.2.1

Der genau Wert von $arccot (\sqrt{3})$ ist $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Schritt 3.2.5.3

Die Kotangens-Funktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu ermitteln, addiere den Referenzwinkel aus $π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu bestimmen.

$x = π + \frac{π}{6}$

Schritt 3.2.5.4

Vereinfache $π + \frac{π}{6}$ .

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Schritt 3.2.5.4.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} + \frac{π}{6}$

Schritt 3.2.5.4.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.2.5.4.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} + \frac{π}{6}$

Schritt 3.2.5.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{π \cdot 6 + π}{6}$

Schritt 3.2.5.4.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.5.4.3.1

Bringe $6$ auf die linke Seite von $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π + π}{6}$

Schritt 3.2.5.4.3.2

Addiere $6 π$ und $π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Schritt 3.2.5.5

Ermittele die Periode von $\cot (x)$ .

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Schritt 3.2.5.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 3.2.5.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 3.2.5.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 3.2.5.5.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 3.2.5.6

Die Periode der Funktion $\cot (x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{7 π}{6} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 3.2.6

Löse in $\cot (x) = - \sqrt{3}$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.6.1

Wende den inversen Kotangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kotangens herauszuziehen.

$x = arccot (- \sqrt{3})$

Schritt 3.2.6.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.6.2.1

Der genau Wert von $arccot (- \sqrt{3})$ ist $\frac{5 π}{6}$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Schritt 3.2.6.3

The cotangent function is negative in the second and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the reference angle from $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = \frac{5 π}{6} - π$

Schritt 3.2.6.4

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 3.2.6.4.1

Addiere $2 π$ zu $\frac{5 π}{6} - π$ .

$x = \frac{5 π}{6} - π + 2 π$

Schritt 3.2.6.4.2

Der resultierende Winkel von $\frac{11 π}{6}$ ist positiv und gleich $\frac{5 π}{6} - π$ .

$x = \frac{11 π}{6}$

Schritt 3.2.6.5

Ermittele die Periode von $\cot (x)$ .

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Schritt 3.2.6.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 3.2.6.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 3.2.6.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 3.2.6.5.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 3.2.6.6

Die Periode der Funktion $\cot (x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{5 π}{6} + π n, \frac{11 π}{6} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 3.2.7

Liste alle Lösungen auf.

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{7 π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n, \frac{11 π}{6} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 3.2.8

Fasse die Lösungen zusammen.

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Schritt 3.2.8.1

Führe $\frac{π}{6} + π n$ und $\frac{7 π}{6} + π n$ zu $\frac{π}{6} + π n$ zusammen.

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n, \frac{11 π}{6} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 3.2.8.2

Führe $\frac{5 π}{6} + π n$ und $\frac{11 π}{6} + π n$ zu $\frac{5 π}{6} + π n$ zusammen.

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 4

Setze $\cot^{2} (x) - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $\cot^{2} (x) - 1$ gleich $0$ .

$\cot^{2} (x) - 1 = 0$

Schritt 4.2

Löse $\cot^{2} (x) - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\cot^{2} (x) = 1$

Schritt 4.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cot (x) = \pm \sqrt{1}$

Schritt 4.2.3

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$\cot (x) = \pm 1$

Schritt 4.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 4.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$\cot (x) = 1$

Schritt 4.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$\cot (x) = - 1$

Schritt 4.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$\cot (x) = 1, - 1$

Schritt 4.2.5

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $x$ aufzulösen.

$\cot (x) = 1$

$\cot (x) = - 1$

Schritt 4.2.6

Löse in $\cot (x) = 1$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.6.1

Wende den inversen Kotangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kotangens herauszuziehen.

$x = arccot (1)$

Schritt 4.2.6.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.6.2.1

Der genau Wert von $arccot (1)$ ist $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Schritt 4.2.6.3

Die Kotangens-Funktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu ermitteln, addiere den Referenzwinkel aus $π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu bestimmen.

$x = π + \frac{π}{4}$

Schritt 4.2.6.4

Vereinfache $π + \frac{π}{4}$ .

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Schritt 4.2.6.4.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Schritt 4.2.6.4.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.2.6.4.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Schritt 4.2.6.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Schritt 4.2.6.4.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.6.4.3.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Schritt 4.2.6.4.3.2

Addiere $4 π$ und $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Schritt 4.2.6.5

Ermittele die Periode von $\cot (x)$ .

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Schritt 4.2.6.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 4.2.6.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 4.2.6.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 4.2.6.5.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 4.2.6.6

Die Periode der Funktion $\cot (x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 4.2.7

Löse in $\cot (x) = - 1$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.7.1

Wende den inversen Kotangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kotangens herauszuziehen.

$x = arccot (- 1)$

Schritt 4.2.7.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.7.2.1

Der genau Wert von $arccot (- 1)$ ist $\frac{3 π}{4}$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Schritt 4.2.7.3

The cotangent function is negative in the second and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the reference angle from $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = \frac{3 π}{4} - π$

Schritt 4.2.7.4

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 4.2.7.4.1

Addiere $2 π$ zu $\frac{3 π}{4} - π$ .

$x = \frac{3 π}{4} - π + 2 π$

Schritt 4.2.7.4.2

Der resultierende Winkel von $\frac{7 π}{4}$ ist positiv und gleich $\frac{3 π}{4} - π$ .

$x = \frac{7 π}{4}$

Schritt 4.2.7.5

Ermittele die Periode von $\cot (x)$ .

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Schritt 4.2.7.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 4.2.7.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 4.2.7.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 4.2.7.5.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 4.2.7.6

Die Periode der Funktion $\cot (x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{7 π}{4} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 4.2.8

Liste alle Lösungen auf.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n, \frac{7 π}{4} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 4.2.9

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(\cot^{2} (x) - 3) (\cot^{2} (x) - 1) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , für jede ganze Zahl $n$