Trigonometrie Beispiele

{cot}^{4} (x) - 4 {cot}^{2} (x) + 3 = 0

$\cot^{4} (x) - 4 \cot^{2} (x) + 3 = 0$

Schritt 1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Schreibe

$\cot^{4} (x)$ als

${(\cot^{2} (x))}^{2}$ um.

${(\cot^{2} (x))}^{2} - 4 \cot^{2} (x) + 3 = 0$

Schritt 1.2

Es sei

$u = \cot^{2} (x)$ . Ersetze

$u$ für alle

$\cot^{2} (x)$ .

$u^{2} - 4 u + 3 = 0$

Schritt 1.3

Faktorisiere

$u^{2} - 4 u + 3$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.3.1

Betrachte die Form

$x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt

$c$ und deren Summe

$b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt

$3$ und deren Summe

$- 4$ ist.

$- 3, - 1$

Schritt 1.3.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(u - 3) (u - 1) = 0$

Schritt 1.4

Ersetze alle

$u$ durch

$\cot^{2} (x)$ .

$(\cot^{2} (x) - 3) (\cot^{2} (x) - 1) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich

$0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich

$0$ .

$\cot^{2} (x) - 3 = 0$

$\cot^{2} (x) - 1 = 0$

Schritt 3

Setze

$\cot^{2} (x) - 3$ gleich

$0$ und löse nach

$x$ auf.

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Schritt 3.1

Setze

$\cot^{2} (x) - 3$ gleich

$0$ .

$\cot^{2} (x) - 3 = 0$

Schritt 3.2

Löse

$\cot^{2} (x) - 3 = 0$ nach

$x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Addiere

$3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\cot^{2} (x) = 3$

Schritt 3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cot (x) = \pm \sqrt{3}$

Schritt 3.2.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.2.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des

$\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$\cot (x) = \sqrt{3}$

Schritt 3.2.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von

$\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$\cot (x) = - \sqrt{3}$

Schritt 3.2.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$\cot (x) = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Schritt 3.2.4

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach

$x$ aufzulösen.

$\cot (x) = \sqrt{3}$

$\cot (x) = - \sqrt{3}$

Schritt 3.2.5

Löse in

$\cot (x) = \sqrt{3}$ nach

$x$ auf.

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Schritt 3.2.5.1

Wende den inversen Kotangens auf beide Seiten der Gleichung an, um

$x$ aus dem Kotangens herauszuziehen.

$x = arccot (\sqrt{3})$

Schritt 3.2.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.5.2.1

Der genau Wert von

$arccot (\sqrt{3})$ ist

$\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Schritt 3.2.5.3

Die Kotangens-Funktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu ermitteln, addiere den Referenzwinkel aus

$π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu bestimmen.

$x = π + \frac{π}{6}$

Schritt 3.2.5.4

Vereinfache

$π + \frac{π}{6}$ .

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Schritt 3.2.5.4.1

$π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit

$\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} + \frac{π}{6}$

Schritt 3.2.5.4.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.2.5.4.2.1

Kombiniere

$π$ und

$\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} + \frac{π}{6}$

Schritt 3.2.5.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{π \cdot 6 + π}{6}$

Schritt 3.2.5.4.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.5.4.3.1

Bringe

$6$ auf die linke Seite von

$π$ .

$x = \frac{6 \cdot π + π}{6}$

Schritt 3.2.5.4.3.2

Addiere

$6 π$ und

$π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Schritt 3.2.5.5

Ermittele die Periode von

$\cot (x)$ .

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Schritt 3.2.5.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von

$\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 3.2.5.5.2

Ersetze

$b$ durch

$1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 3.2.5.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen

$0$ und

$1$ ist

$1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 3.2.5.5.4

Dividiere

$π$ durch

$1$ .

$π$

Schritt 3.2.5.6

Die Periode der Funktion

$\cot (x)$ ist

$π$ , d. h., Werte werden sich alle

$π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{7 π}{6} + π n$ , für jede ganze Zahl

$n$

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{7 π}{6} + π n$ , für jede ganze Zahl

$n$

Schritt 3.2.6

Löse in

$\cot (x) = - \sqrt{3}$ nach

$x$ auf.

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Schritt 3.2.6.1

Wende den inversen Kotangens auf beide Seiten der Gleichung an, um

$x$ aus dem Kotangens herauszuziehen.

$x = arccot (- \sqrt{3})$

Schritt 3.2.6.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.6.2.1

Der genau Wert von

$arccot (- \sqrt{3})$ ist

$\frac{5 π}{6}$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Schritt 3.2.6.3

The cotangent function is negative in the second and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the reference angle from

$π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = \frac{5 π}{6} - π$

Schritt 3.2.6.4

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 3.2.6.4.1

Addiere

$2 π$ zu

$\frac{5 π}{6} - π$ .

$x = \frac{5 π}{6} - π + 2 π$

Schritt 3.2.6.4.2

Der resultierende Winkel von

$\frac{11 π}{6}$ ist positiv und gleich

$\frac{5 π}{6} - π$ .

$x = \frac{11 π}{6}$

Schritt 3.2.6.5

Ermittele die Periode von

$\cot (x)$ .

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Schritt 3.2.6.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von

$\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 3.2.6.5.2

Ersetze

$b$ durch

$1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 3.2.6.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen

$0$ und

$1$ ist

$1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 3.2.6.5.4

Dividiere

$π$ durch

$1$ .

$π$

Schritt 3.2.6.6

Die Periode der Funktion

$\cot (x)$ ist

$π$ , d. h., Werte werden sich alle

$π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{5 π}{6} + π n, \frac{11 π}{6} + π n$ , für jede ganze Zahl

$n$

$x = \frac{5 π}{6} + π n, \frac{11 π}{6} + π n$ , für jede ganze Zahl

$n$

Schritt 3.2.7

Liste alle Lösungen auf.

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{7 π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n, \frac{11 π}{6} + π n$ , für jede ganze Zahl

$n$

Schritt 3.2.8

Fasse die Lösungen zusammen.

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Schritt 3.2.8.1

Führe

$\frac{π}{6} + π n$ und

$\frac{7 π}{6} + π n$ zu

$\frac{π}{6} + π n$ zusammen.

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n, \frac{11 π}{6} + π n$ , für jede ganze Zahl

$n$

Schritt 3.2.8.2

Führe

$\frac{5 π}{6} + π n$ und

$\frac{11 π}{6} + π n$ zu

$\frac{5 π}{6} + π n$ zusammen.

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ , für jede ganze Zahl

$n$

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ , für jede ganze Zahl

$n$

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ , für jede ganze Zahl

$n$

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ , für jede ganze Zahl

$n$

Schritt 4

Setze

$\cot^{2} (x) - 1$ gleich

$0$ und löse nach

$x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze

$\cot^{2} (x) - 1$ gleich

$0$ .

$\cot^{2} (x) - 1 = 0$

Schritt 4.2

Löse

$\cot^{2} (x) - 1 = 0$ nach

$x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Addiere

$1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\cot^{2} (x) = 1$

Schritt 4.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cot (x) = \pm \sqrt{1}$

Schritt 4.2.3

Jede Wurzel von

$1$ ist

$1$ .

$\cot (x) = \pm 1$

Schritt 4.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des

$\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$\cot (x) = 1$

Schritt 4.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von

$\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$\cot (x) = - 1$

Schritt 4.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$\cot (x) = 1, - 1$

Schritt 4.2.5

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach

$x$ aufzulösen.

$\cot (x) = 1$

$\cot (x) = - 1$

Schritt 4.2.6

Löse in

$\cot (x) = 1$ nach

$x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.6.1

Wende den inversen Kotangens auf beide Seiten der Gleichung an, um

$x$ aus dem Kotangens herauszuziehen.

$x = arccot (1)$

Schritt 4.2.6.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.6.2.1

Der genau Wert von

$arccot (1)$ ist

$\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Schritt 4.2.6.3

Die Kotangens-Funktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu ermitteln, addiere den Referenzwinkel aus

$π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu bestimmen.

$x = π + \frac{π}{4}$

Schritt 4.2.6.4

Vereinfache

$π + \frac{π}{4}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.6.4.1

$π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit

$\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Schritt 4.2.6.4.2

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.6.4.2.1

Kombiniere

$π$ und

$\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Schritt 4.2.6.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Schritt 4.2.6.4.3

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.6.4.3.1

Bringe

$4$ auf die linke Seite von

$π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Schritt 4.2.6.4.3.2

Addiere

$4 π$ und

$π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Schritt 4.2.6.5

Ermittele die Periode von

$\cot (x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.6.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von

$\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 4.2.6.5.2

Ersetze

$b$ durch

$1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 4.2.6.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen

$0$ und

$1$ ist

$1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 4.2.6.5.4

Dividiere

$π$ durch

$1$ .

$π$

Schritt 4.2.6.6

Die Periode der Funktion

$\cot (x)$ ist

$π$ , d. h., Werte werden sich alle

$π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , für jede ganze Zahl

$n$

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , für jede ganze Zahl

$n$

Schritt 4.2.7

Löse in

$\cot (x) = - 1$ nach

$x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.7.1

Wende den inversen Kotangens auf beide Seiten der Gleichung an, um

$x$ aus dem Kotangens herauszuziehen.

$x = arccot (- 1)$

Schritt 4.2.7.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.7.2.1

Der genau Wert von

$arccot (- 1)$ ist

$\frac{3 π}{4}$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Schritt 4.2.7.3

The cotangent function is negative in the second and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the reference angle from

$π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = \frac{3 π}{4} - π$

Schritt 4.2.7.4

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.7.4.1

Addiere

$2 π$ zu

$\frac{3 π}{4} - π$ .

$x = \frac{3 π}{4} - π + 2 π$

Schritt 4.2.7.4.2

Der resultierende Winkel von

$\frac{7 π}{4}$ ist positiv und gleich

$\frac{3 π}{4} - π$ .

$x = \frac{7 π}{4}$

Schritt 4.2.7.5

Ermittele die Periode von

$\cot (x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.7.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von

$\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 4.2.7.5.2

Ersetze

$b$ durch

$1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 4.2.7.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen

$0$ und

$1$ ist

$1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 4.2.7.5.4

Dividiere

$π$ durch

$1$ .

$π$

Schritt 4.2.7.6

Die Periode der Funktion

$\cot (x)$ ist

$π$ , d. h., Werte werden sich alle

$π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{7 π}{4} + π n$ , für jede ganze Zahl

$n$

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{7 π}{4} + π n$ , für jede ganze Zahl

$n$

Schritt 4.2.8

Liste alle Lösungen auf.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n, \frac{7 π}{4} + π n$ , für jede ganze Zahl

$n$

Schritt 4.2.9

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , für jede ganze Zahl

$n$

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , für jede ganze Zahl

$n$

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , für jede ganze Zahl

$n$

Schritt 5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die

$(\cot^{2} (x) - 3) (\cot^{2} (x) - 1) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , für jede ganze Zahl

$n$