Trigonometrie Beispiele

$\cot^{2} (x) - 8 \cot (x) + 12 = 0$

Schritt 1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Es sei $u = \cot (x)$ . Ersetze $u$ für alle $\cot (x)$ .

$u^{2} - 8 u + 12 = 0$

Schritt 1.2

Faktorisiere $u^{2} - 8 u + 12$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $12$ und deren Summe $- 8$ ist.

$- 6, - 2$

Schritt 1.2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(u - 6) (u - 2) = 0$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $\cot (x)$ .

$(\cot (x) - 6) (\cot (x) - 2) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$\cot (x) - 6 = 0$

$\cot (x) - 2 = 0$

Schritt 3

Setze $\cot (x) - 6$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Setze $\cot (x) - 6$ gleich $0$ .

$\cot (x) - 6 = 0$

Schritt 3.2

Löse $\cot (x) - 6 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\cot (x) = 6$

Schritt 3.2.2

Wende den inversen Kotangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kotangens herauszuziehen.

$x = arccot (6)$

Schritt 3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.3.1

Berechne $arccot (6)$ .

$x = 0.16514867$

Schritt 3.2.4

Die Kotangens-Funktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu ermitteln, addiere den Referenzwinkel aus $π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu bestimmen.

$x = (3.14159265) + 0.16514867$

Schritt 3.2.5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.5.1

Entferne die Klammern.

$x = 3.14159265 + 0.16514867$

Schritt 3.2.5.2

Entferne die Klammern.

$x = (3.14159265) + 0.16514867$

Schritt 3.2.5.3

Addiere $3.14159265$ und $0.16514867$ .

$x = 3.30674133$

Schritt 3.2.6

Ermittele die Periode von $\cot (x)$ .

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Schritt 3.2.6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 3.2.6.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 3.2.6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 3.2.6.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 3.2.7

Die Periode der Funktion $\cot (x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 0.16514867 + π n, 3.30674133 + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 4

Setze $\cot (x) - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $\cot (x) - 2$ gleich $0$ .

$\cot (x) - 2 = 0$

Schritt 4.2

Löse $\cot (x) - 2 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\cot (x) = 2$

Schritt 4.2.2

Wende den inversen Kotangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kotangens herauszuziehen.

$x = arccot (2)$

Schritt 4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.3.1

Berechne $arccot (2)$ .

$x = 0.4636476$

Schritt 4.2.4

Die Kotangens-Funktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu ermitteln, addiere den Referenzwinkel aus $π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu bestimmen.

$x = (3.14159265) + 0.4636476$

Schritt 4.2.5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.5.1

Entferne die Klammern.

$x = 3.14159265 + 0.4636476$

Schritt 4.2.5.2

Entferne die Klammern.

$x = (3.14159265) + 0.4636476$

Schritt 4.2.5.3

Addiere $3.14159265$ und $0.4636476$ .

$x = 3.60524026$

Schritt 4.2.6

Ermittele die Periode von $\cot (x)$ .

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Schritt 4.2.6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 4.2.6.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 4.2.6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 4.2.6.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 4.2.7

Die Periode der Funktion $\cot (x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 0.4636476 + π n, 3.60524026 + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(\cot (x) - 6) (\cot (x) - 2) = 0$ wahr machen.

$x = 0.16514867 + π n, 3.30674133 + π n, 0.4636476 + π n, 3.60524026 + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 6

Fasse die Ergebnisse zusammen.

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Schritt 6.1

Führe $0.16514867 + π n$ und $3.30674133 + π n$ zu $0.16514867 + π n$ zusammen.

$x = 0.16514867 + π n, 0.4636476 + π n, 3.60524026 + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 6.2

Führe $0.4636476 + π n$ und $3.60524026 + π n$ zu $0.4636476 + π n$ zusammen.

$x = 0.16514867 + π n, 0.4636476 + π n$ , für jede ganze Zahl $n$