Trigonometrie Beispiele

$\cot^{2} (x) + 6 \cot (x) - 2 = 0$

Schritt 1

Ersetze $\cot (x)$ durch $u$ .

${(u)}^{2} + 6 (u) - 2 = 0$

Schritt 2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 6$ und $c = - 2$ in die Quadratformel ein und löse nach $u$ auf.

$\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Potenziere $6$ mit $2$ .

$u = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 2$ .

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Schritt 4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$u = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 2$ .

$u = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.3

Addiere $36$ und $8$ .

$u = \frac{- 6 \pm \sqrt{44}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.4

Schreibe $44$ als $2^{2} \cdot 11$ um.

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Schritt 4.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $44$ heraus.

$u = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (11)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$u = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 11}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$u = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{11}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$u = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{11}}{2}$

Schritt 4.3

Vereinfache $\frac{- 6 \pm 2 \sqrt{11}}{2}$ .

$u = - 3 \pm \sqrt{11}$

Schritt 5

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$u = - 3 + \sqrt{11}, - 3 - \sqrt{11}$

Schritt 6

Ersetze $u$ durch $\cot (x)$ .

$\cot (x) = - 3 + \sqrt{11}, - 3 - \sqrt{11}$

Schritt 7

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $x$ aufzulösen.

$\cot (x) = - 3 + \sqrt{11}$

$\cot (x) = - 3 - \sqrt{11}$

Schritt 8

Löse in $\cot (x) = - 3 + \sqrt{11}$ nach $x$ auf.

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Schritt 8.1

Wandle die rechte Seite der Gleichung in ihr dezimales Äquivalent um.

$\cot (x) = 0.31662479$

Schritt 8.2

Wende den inversen Kotangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kotangens herauszuziehen.

$x = arccot (0.31662479)$

Schritt 8.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.3.1

Berechne $arccot (0.31662479)$ .

$x = 1.26415806$

Schritt 8.4

Die Kotangens-Funktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu ermitteln, addiere den Referenzwinkel aus $π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu bestimmen.

$x = (3.14159265) + 1.26415806$

Schritt 8.5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.5.1

Entferne die Klammern.

$x = 3.14159265 + 1.26415806$

Schritt 8.5.2

Entferne die Klammern.

$x = (3.14159265) + 1.26415806$

Schritt 8.5.3

Addiere $3.14159265$ und $1.26415806$ .

$x = 4.40575072$

Schritt 8.6

Ermittele die Periode von $\cot (x)$ .

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Schritt 8.6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 8.6.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 8.6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 8.6.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 8.7

Die Periode der Funktion $\cot (x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 1.26415806 + π n, 4.40575072 + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 9

Löse in $\cot (x) = - 3 - \sqrt{11}$ nach $x$ auf.

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Schritt 9.1

Wandle die rechte Seite der Gleichung in ihr dezimales Äquivalent um.

$\cot (x) = - 6.31662479$

Schritt 9.2

Wende den inversen Kotangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kotangens herauszuziehen.

$x = arccot (- 6.31662479)$

Schritt 9.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 9.3.1

Berechne $arccot (- 6.31662479)$ .

$x = 2.9845833$

Schritt 9.4

The cotangent function is negative in the second and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the reference angle from $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = 2.9845833 - (3.14159265)$

Schritt 9.5

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 9.5.1

Addiere $2 π$ zu $2.9845833 - (3.14159265)$ .

$x = 2.9845833 - (3.14159265) + 2 π$

Schritt 9.5.2

Der resultierende Winkel von $6.12617595$ ist positiv und gleich $2.9845833 - (3.14159265)$ .

$x = 6.12617595$

Schritt 9.6

Ermittele die Periode von $\cot (x)$ .

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Schritt 9.6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 9.6.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 9.6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 9.6.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 9.7

Die Periode der Funktion $\cot (x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 2.9845833 + π n, 6.12617595 + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 10

Liste alle Lösungen auf.

$x = 1.26415806 + π n, 4.40575072 + π n, 2.9845833 + π n, 6.12617595 + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 11

Fasse die Lösungen zusammen.

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Schritt 11.1

Führe $1.26415806 + π n$ und $4.40575072 + π n$ zu $1.26415806 + π n$ zusammen.

$x = 1.26415806 + π n, 2.9845833 + π n, 6.12617595 + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 11.2

Führe $2.9845833 + π n$ und $6.12617595 + π n$ zu $2.9845833 + π n$ zusammen.

$x = 1.26415806 + π n, 2.9845833 + π n$ , für jede ganze Zahl $n$