Trigonometrie Beispiele

$\cos^{2} (x - 8) \cos (x - 1) = 0$

Schritt 1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$\cos^{2} (x - 8) = 0$

$\cos (x - 1) = 0$

Schritt 2

Setze $\cos^{2} (x - 8)$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Setze $\cos^{2} (x - 8)$ gleich $0$ .

$\cos^{2} (x - 8) = 0$

Schritt 2.2

Löse $\cos^{2} (x - 8) = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$\cos (x - 8) = \pm \sqrt{0}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 2.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$\cos (x - 8) = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 2.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\cos (x - 8) = \pm 0$

Schritt 2.2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$\cos (x - 8) = 0$

Schritt 2.2.3

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x - 8 = \arccos (0)$

Schritt 2.2.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.4.1

Der genau Wert von $\arccos (0)$ ist $\frac{π}{2}$ .

$x - 8 = \frac{π}{2}$

Schritt 2.2.5

Addiere $8$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = \frac{π}{2} + 8$

Schritt 2.2.6

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$x - 8 = 2 π - \frac{π}{2}$

Schritt 2.2.7

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.7.1

Vereinfache $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Schritt 2.2.7.1.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x - 8 = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 2.2.7.1.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.2.7.1.2.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{2}{2}$ .

$x - 8 = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 2.2.7.1.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x - 8 = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 2.2.7.1.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.7.1.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x - 8 = \frac{4 π - π}{2}$

Schritt 2.2.7.1.3.2

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$x - 8 = \frac{3 π}{2}$

Schritt 2.2.7.2

Addiere $8$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = \frac{3 π}{2} + 8$

Schritt 2.2.8

Ermittele die Periode von $\cos (x - 8)$ .

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Schritt 2.2.8.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 2.2.8.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 2.2.8.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 2.2.8.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 2.2.9

Die Periode der Funktion $\cos (x - 8)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{2} + 8 + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 8 + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 3

Setze $\cos (x - 1)$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Setze $\cos (x - 1)$ gleich $0$ .

$\cos (x - 1) = 0$

Schritt 3.2

Löse $\cos (x - 1) = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x - 1 = \arccos (0)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Der genau Wert von $\arccos (0)$ ist $\frac{π}{2}$ .

$x - 1 = \frac{π}{2}$

Schritt 3.2.3

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = \frac{π}{2} + 1$

Schritt 3.2.4

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$x - 1 = 2 π - \frac{π}{2}$

Schritt 3.2.5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.5.1

Vereinfache $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Schritt 3.2.5.1.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x - 1 = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 3.2.5.1.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.2.5.1.2.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{2}{2}$ .

$x - 1 = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 3.2.5.1.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x - 1 = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 3.2.5.1.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.5.1.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x - 1 = \frac{4 π - π}{2}$

Schritt 3.2.5.1.3.2

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$x - 1 = \frac{3 π}{2}$

Schritt 3.2.5.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = \frac{3 π}{2} + 1$

Schritt 3.2.6

Ermittele die Periode von $\cos (x - 1)$ .

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Schritt 3.2.6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 3.2.6.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 3.2.6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 3.2.6.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 3.2.7

Die Periode der Funktion $\cos (x - 1)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{2} + 1 + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 1 + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $\cos^{2} (x - 8) \cos (x - 1) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{π}{2} + 8 + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 8 + 2 π n, \frac{π}{2} + 1 + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 1 + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 5

Führe $\frac{π}{2} + 1 + 2 π n$ und $\frac{3 π}{2} + 1 + 2 π n$ zu $\frac{π}{2} + 1 + π n$ zusammen.

$x = \frac{π}{2} + 8 + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 8 + 2 π n, \frac{π}{2} + 1 + π n$ , für jede Ganzzahl $n$