Trigonometrie Beispiele

$\cos^{2} (x) + \tan^{2} (x) \cdot \cos^{2} (x) = 1$

Schritt 1

Ersetze die $\cos^{2} (x)$ durch $1 - \sin^{2} (x)$ basierend auf der $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ -Identitätsgleichung.

$(1 - \sin^{2} (x)) + \tan^{2} (x) \cdot \cos^{2} (x) = 1$

Schritt 2

Mutltipliziere $\tan^{2} (x)$ mit $\cos^{2} (x)$ .

$1 - \sin^{2} (x) + \tan^{2} (x) \cos^{2} (x) = 1$

Schritt 3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1

Vereinfache $1 - \sin^{2} (x) + \tan^{2} (x) \cos^{2} (x)$ .

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Schritt 3.1.1

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\cos^{2} (x) + \tan^{2} (x) \cos^{2} (x) = 1$

Schritt 3.1.2

Faktorisiere $\cos^{2} (x)$ aus $\cos^{2} (x) + \tan^{2} (x) \cos^{2} (x)$ heraus.

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Schritt 3.1.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$\cos^{2} (x) \cdot 1 + \tan^{2} (x) \cos^{2} (x) = 1$

Schritt 3.1.2.2

Faktorisiere $\cos^{2} (x)$ aus $\tan^{2} (x) \cos^{2} (x)$ heraus.

$\cos^{2} (x) \cdot 1 + \cos^{2} (x) \tan^{2} (x) = 1$

Schritt 3.1.2.3

Faktorisiere $\cos^{2} (x)$ aus $\cos^{2} (x) \cdot 1 + \cos^{2} (x) \tan^{2} (x)$ heraus.

$\cos^{2} (x) (1 + \tan^{2} (x)) = 1$

Schritt 3.1.3

Ordne Terme um.

$\cos^{2} (x) (\tan^{2} (x) + 1) = 1$

Schritt 3.1.4

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\cos^{2} (x) \sec^{2} (x) = 1$

Schritt 3.1.5

Schreibe $\sec (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\cos^{2} (x) {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} = 1$

Schritt 3.1.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.1.6.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\cos (x)}$ an.

$\cos^{2} (x) \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} = 1$

Schritt 3.1.6.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\cos^{2} (x) \frac{1}{\cos^{2} (x)} = 1$

Schritt 3.1.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos^{2} (x)$ .

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Schritt 3.1.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cos^{2} (x) \frac{1}{\cos^{2} (x)} = 1$

Schritt 3.1.7.2

Forme den Ausdruck um.

$1 = 1$

Schritt 4

Da $1 = 1$ , wird die Gleichung immer erfüllt sein für jeden Wert von $x$ .

Alle reellen Zahlen

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Alle reellen Zahlen

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$