Trigonometrie Beispiele

$\frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1} = \frac{\cos (x) + 1}{\tan^{2} (x)}$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Vereinfache $\frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1}$ .

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Schritt 1.1.1

Schreibe $\sec (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - 1} = \frac{\cos (x) + 1}{\tan^{2} (x)}$

Schritt 1.1.2

Wandle von $\frac{1}{\cos (x)}$ nach $\sec (x)$ um.

$\frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1} = \frac{\cos (x) + 1}{\tan^{2} (x)}$

Schritt 2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1

Vereinfache $\frac{\cos (x) + 1}{\tan^{2} (x)}$ .

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Schritt 2.1.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1.1.1

Schreibe $\tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1} = \frac{\cos (x) + 1}{{(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}}$

Schritt 2.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ an.

$\frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1} = \frac{\cos (x) + 1}{\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}$

Schritt 2.1.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1} = (\cos (x) + 1) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1} = \cos (x) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + 1 \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 2.1.4

Multipliziere $\cos (x) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ .

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Schritt 2.1.4.1

Kombiniere $\cos (x)$ und $\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1} = \frac{\cos (x) \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + 1 \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 2.1.4.2

Multipliziere $\cos (x)$ mit $\cos^{2} (x)$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.4.2.1

Mutltipliziere $\cos (x)$ mit $\cos^{2} (x)$ .

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Schritt 2.1.4.2.1.1

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1} = \frac{\cos^{1} (x) \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + 1 \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 2.1.4.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1} = \frac{{\cos (x)}^{1 + 2}}{\sin^{2} (x)} + 1 \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 2.1.4.2.2

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1} = \frac{\cos^{3} (x)}{\sin^{2} (x)} + 1 \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 2.1.5

Mutltipliziere $\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ mit $1$ .

$\frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1} = \frac{\cos^{3} (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 2.1.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.6.1

Faktorisiere $\cos^{2} (x)$ aus $\cos^{3} (x)$ heraus.

$\frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1} = \frac{\cos^{2} (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 2.1.6.2

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1} = \frac{\cos^{2} (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x) \cdot 1} + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 2.1.6.3

Separiere Brüche.

$\frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1} = \frac{\cos (x)}{1} \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 2.1.6.4

Wandle von $\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ nach $\cot^{2} (x)$ um.

$\frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1} = \frac{\cos (x)}{1} \cot^{2} (x) + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 2.1.6.5

Dividiere $\cos (x)$ durch $1$ .

$\frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1} = \cos (x) \cot^{2} (x) + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 2.1.6.6

Wandle von $\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ nach $\cot^{2} (x)$ um.

$\frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1} = \cos (x) \cot^{2} (x) + \cot^{2} (x)$

Schritt 3

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$\cos (x) \cot^{2} (x) + \cot^{2} (x) = \frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1}$

Schritt 4

Ersetze die $\cot^{2} (x)$ durch $\csc^{2} (x) - 1$ basierend auf der $\cot^{2} (x) + 1 = \csc^{2} (x)$ -Identitätsgleichung.

$(\csc^{2} (x) - 1) + \cot^{2} (x) = \frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1}$

Schritt 5

Stelle das Polynom um.

$\csc^{2} (x) + \cot^{2} (x) - 1 = \frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1}$

Schritt 6

Vereinfache $\csc^{2} (x) + \cot^{2} (x) - 1$ .

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Schritt 6.1

Bewege $- 1$ .

$\csc^{2} (x) - 1 + \cot^{2} (x) = \frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1}$

Schritt 6.2

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\cot^{2} (x) + \cot^{2} (x) = \frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1}$

Schritt 6.3

Addiere $\cot^{2} (x)$ und $\cot^{2} (x)$ .

$2 \cot^{2} (x) = \frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1}$

Schritt 7

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$\frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1} = 2 \cot^{2} (x)$

Schritt 8

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 8.1

Subtrahiere $2 \cot^{2} (x)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1} - 2 \cot^{2} (x) = 0$

Schritt 8.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.2.1

Schreibe $\sec (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - 1} - 2 \cot^{2} (x) = 0$

Schritt 8.2.2

Schreibe $\cot (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - 1} - 2 {(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2} = 0$

Schritt 8.2.3

Wende die Produktregel auf $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ an.

$\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - 1} - 2 \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} = 0$

Schritt 8.2.4

Kombiniere $- 2$ und $\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - 1} + \frac{- 2 \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} = 0$

Schritt 8.2.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - 1} - \frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} = 0$

Schritt 8.3

Um $\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - 1}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - 1} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} - \frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} = 0$

Schritt 8.4

Um $- \frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\frac{1}{\cos (x)} - 1}{\frac{1}{\cos (x)} - 1}$ .

$\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - 1} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} - \frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} \cdot \frac{\frac{1}{\cos (x)} - 1}{\frac{1}{\cos (x)} - 1} = 0$

Schritt 8.5

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(\frac{1}{\cos (x)} - 1) \sin^{2} (x)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 8.5.1

Mutltipliziere $\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - 1}$ mit $\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ .

$\frac{\cos (x) \sin^{2} (x)}{(\frac{1}{\cos (x)} - 1) \sin^{2} (x)} - \frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} \cdot \frac{\frac{1}{\cos (x)} - 1}{\frac{1}{\cos (x)} - 1} = 0$

Schritt 8.5.2

Mutltipliziere $\frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ mit $\frac{\frac{1}{\cos (x)} - 1}{\frac{1}{\cos (x)} - 1}$ .

$\frac{\cos (x) \sin^{2} (x)}{(\frac{1}{\cos (x)} - 1) \sin^{2} (x)} - \frac{2 \cos^{2} (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)}{\sin^{2} (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)} = 0$

Schritt 8.5.3

Stelle die Faktoren von $(\frac{1}{\cos (x)} - 1) \sin^{2} (x)$ um.

$\frac{\cos (x) \sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)} - \frac{2 \cos^{2} (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)}{\sin^{2} (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)} = 0$

Schritt 8.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\cos (x) \sin^{2} (x) - 2 \cos^{2} (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)}{\sin^{2} (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)} = 0$

Schritt 8.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.7.1

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $\cos (x) \sin^{2} (x) - 2 \cos^{2} (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)$ heraus.

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Schritt 8.7.1.1

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $\cos (x) \sin^{2} (x)$ heraus.

$\frac{\cos (x) (\sin^{2} (x)) - 2 \cos^{2} (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)}{\sin^{2} (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)} = 0$

Schritt 8.7.1.2

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $- 2 \cos^{2} (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)$ heraus.

$\frac{\cos (x) (\sin^{2} (x)) + \cos (x) (- 2 \cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1))}{\sin^{2} (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)} = 0$

Schritt 8.7.1.3

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $\cos (x) (\sin^{2} (x)) + \cos (x) (- 2 \cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1))$ heraus.

$\frac{\cos (x) (\sin^{2} (x) - 2 \cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1))}{\sin^{2} (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)} = 0$

Schritt 8.7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\cos (x) (\sin^{2} (x) - 2 \cos (x) \frac{1}{\cos (x)} - 2 \cos (x) \cdot - 1)}{\sin^{2} (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)} = 0$

Schritt 8.7.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x)$ .

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Schritt 8.7.3.1

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $- 2 \cos (x)$ heraus.

$\frac{\cos (x) (\sin^{2} (x) + \cos (x) \cdot - 2 \frac{1}{\cos (x)} - 2 \cos (x) \cdot - 1)}{\sin^{2} (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)} = 0$

Schritt 8.7.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\cos (x) (\sin^{2} (x) + \cos (x) \cdot - 2 \frac{1}{\cos (x)} - 2 \cos (x) \cdot - 1)}{\sin^{2} (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)} = 0$

Schritt 8.7.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\cos (x) (\sin^{2} (x) - 2 - 2 \cos (x) \cdot - 1)}{\sin^{2} (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)} = 0$

Schritt 8.7.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$\frac{\cos (x) (\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x))}{\sin^{2} (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)} = 0$

Schritt 8.8

Faktorisiere $\sin (x)$ aus $\sin^{2} (x)$ heraus.

$\frac{\cos (x) (\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x))}{\sin (x) \sin (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)} = 0$

Schritt 8.9

Separiere Brüche.

$\frac{\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x)}{\sin (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = 0$

Schritt 8.10

Wandle von $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ nach $\cot (x)$ um.

$\frac{\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x)}{\sin (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)} \cot (x) = 0$

Schritt 8.11

Wandle von $\frac{1}{\cos (x)}$ nach $\sec (x)$ um.

$\frac{\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x)}{\sin (x) (\sec (x) - 1)} \cot (x) = 0$

Schritt 8.12

Kombiniere $\frac{\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x)}{\sin (x) (\sec (x) - 1)}$ und $\cot (x)$ .

$\frac{(\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x)) \cot (x)}{\sin (x) (\sec (x) - 1)} = 0$

Schritt 8.13

Separiere Brüche.

$\frac{\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x)}{\sec (x) - 1} \cdot \frac{\cot (x)}{\sin (x)} = 0$

Schritt 8.14

Schreibe $\cot (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x)}{\sec (x) - 1} \cdot \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\sin (x)} = 0$

Schritt 8.15

Schreibe $\frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\sin (x)}$ als ein Produkt um.

$\frac{\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x)}{\sec (x) - 1} (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}) = 0$

Schritt 8.16

Vereinfache.

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Schritt 8.16.1

Wandle von $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ nach $\cot (x)$ um.

$\frac{\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x)}{\sec (x) - 1} (\cot (x) \frac{1}{\sin (x)}) = 0$

Schritt 8.16.2

Wandle von $\frac{1}{\sin (x)}$ nach $\csc (x)$ um.

$\frac{\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x)}{\sec (x) - 1} (\cot (x) \csc (x)) = 0$

Schritt 8.17

Multipliziere $\frac{\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x)}{\sec (x) - 1} (\cot (x) \csc (x))$ .

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Schritt 8.17.1

Kombiniere $\cot (x)$ und $\frac{\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x)}{\sec (x) - 1}$ .

$\frac{\cot (x) (\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x))}{\sec (x) - 1} \csc (x) = 0$

Schritt 8.17.2

Kombiniere $\frac{\cot (x) (\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x))}{\sec (x) - 1}$ und $\csc (x)$ .

$\frac{\cot (x) (\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x)) \csc (x)}{\sec (x) - 1} = 0$

Schritt 8.18

Stelle die Faktoren in $\frac{\cot (x) (\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x)) \csc (x)}{\sec (x) - 1}$ um.

$\frac{\cot (x) \csc (x) (\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x))}{\sec (x) - 1} = 0$

Schritt 9

Setze den Zähler gleich Null.

$\cot (x) \csc (x) (\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x)) = 0$

Schritt 10

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 10.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$\cot (x) = 0$

$\csc (x) = 0$

$\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x) = 0$

Schritt 10.2

Setze $\cot (x)$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 10.2.1

Setze $\cot (x)$ gleich $0$ .

$\cot (x) = 0$

Schritt 10.2.2

Löse $\cot (x) = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 10.2.2.1

Wende den inversen Kotangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kotangens herauszuziehen.

$x = arccot (0)$

Schritt 10.2.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 10.2.2.2.1

Der genau Wert von $arccot (0)$ ist $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Schritt 10.2.2.3

Die Kotangens-Funktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu ermitteln, addiere den Referenzwinkel aus $π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu bestimmen.

$x = π + \frac{π}{2}$

Schritt 10.2.2.4

Vereinfache $π + \frac{π}{2}$ .

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Schritt 10.2.2.4.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}$

Schritt 10.2.2.4.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 10.2.2.4.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2}$

Schritt 10.2.2.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{π \cdot 2 + π}{2}$

Schritt 10.2.2.4.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.2.2.4.3.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π + π}{2}$

Schritt 10.2.2.4.3.2

Addiere $2 π$ und $π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Schritt 10.2.2.5

Ermittele die Periode von $\cot (x)$ .

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Schritt 10.2.2.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 10.2.2.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 10.2.2.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 10.2.2.5.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 10.2.2.6

Die Periode der Funktion $\cot (x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{3 π}{2} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 10.3

Setze $\csc (x)$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 10.3.1

Setze $\csc (x)$ gleich $0$ .

$\csc (x) = 0$

Schritt 10.3.2

Der Wertebereich des Kosekans ist $y \leq - 1$ und $y \geq 1$ . Da $0$ nicht in diesen Bereich fällt, gibt es keine Lösung.

Keine Lösung

Schritt 10.4

Setze $\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x)$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 10.4.1

Setze $\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x)$ gleich $0$ .

$\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x) = 0$

Schritt 10.4.2

Löse $\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x) = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 10.4.2.1

Ersetze $\sin^{2} (x)$ durch $1 - \cos^{2} (x)$ .

$(1 - \cos^{2} (x)) - 2 + 2 \cos (x) = 0$

Schritt 10.4.2.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 10.4.2.2.1

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$- 1 - \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) = 0$

Schritt 10.4.2.2.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 10.4.2.2.2.1

Stelle die Terme um.

$- \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) - 1 = 0$

Schritt 10.4.2.2.2.2

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 1 \cdot - 1 = 1$ und deren Summe gleich $b = 2$ ist.

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Schritt 10.4.2.2.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cos (x)$ heraus.

$- \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) - 1 = 0$

Schritt 10.4.2.2.2.2.2

Schreibe $2$ um als $1$ plus $1$

$- \cos^{2} (x) + (1 + 1) \cos (x) - 1 = 0$

Schritt 10.4.2.2.2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- \cos^{2} (x) + 1 \cos (x) + 1 \cos (x) - 1 = 0$

Schritt 10.4.2.2.2.2.4

Mutltipliziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$- \cos^{2} (x) + \cos (x) + 1 \cos (x) - 1 = 0$

Schritt 10.4.2.2.2.2.5

Mutltipliziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$- \cos^{2} (x) + \cos (x) + \cos (x) - 1 = 0$

Schritt 10.4.2.2.2.3

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 10.4.2.2.2.3.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$- \cos^{2} (x) + \cos (x) + \cos (x) - 1 = 0$

Schritt 10.4.2.2.2.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\cos (x) (- \cos (x) + 1) - 1 (- \cos (x) + 1) = 0$

Schritt 10.4.2.2.2.4

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- \cos (x) + 1$ .

$(- \cos (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0$

Schritt 10.4.2.2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$- \cos (x) + 1 = 0$

$\cos (x) - 1 = 0$

Schritt 10.4.2.2.4

Setze $- \cos (x) + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 10.4.2.2.4.1

Setze $- \cos (x) + 1$ gleich $0$ .

$- \cos (x) + 1 = 0$

Schritt 10.4.2.2.4.2

Löse $- \cos (x) + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 10.4.2.2.4.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \cos (x) = - 1$

Schritt 10.4.2.2.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- \cos (x) = - 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 10.4.2.2.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- \cos (x) = - 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- \cos (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 10.4.2.2.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 10.4.2.2.4.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\cos (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 10.4.2.2.4.2.2.2.2

Dividiere $\cos (x)$ durch $1$ .

$\cos (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 10.4.2.2.4.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 10.4.2.2.4.2.2.3.1

Dividiere $- 1$ durch $- 1$ .

$\cos (x) = 1$

Schritt 10.4.2.2.4.2.3

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (1)$

Schritt 10.4.2.2.4.2.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 10.4.2.2.4.2.4.1

Der genau Wert von $\arccos (1)$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 10.4.2.2.4.2.5

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - 0$

Schritt 10.4.2.2.4.2.6

Subtrahiere $0$ von $2 π$ .

$x = 2 π$

Schritt 10.4.2.2.4.2.7

Ermittele die Periode von $\cos (x)$ .

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Schritt 10.4.2.2.4.2.7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 10.4.2.2.4.2.7.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 10.4.2.2.4.2.7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 10.4.2.2.4.2.7.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 10.4.2.2.4.2.8

Die Periode der Funktion $\cos (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 10.4.2.2.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(- \cos (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0$ wahr machen.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 10.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $\cot (x) \csc (x) (\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x)) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{3 π}{2} + π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 11

Fasse die Ergebnisse zusammen.

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Schritt 11.1

Führe $\frac{π}{2} + π n$ und $\frac{3 π}{2} + π n$ zu $\frac{π}{2} + π n$ zusammen.

$x = \frac{π}{2} + π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 11.2

Führe $2 π n$ und $2 π + 2 π n$ zu $2 π n$ zusammen.

$x = \frac{π}{2} + π n, 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 12

Schließe die Lösungen aus, die $\frac{\cos (x)}{\sec (x) - 1} = \frac{\cos (x) + 1}{\tan^{2} (x)}$ nicht erfüllen.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$