Gib eine Aufgabe ein ...
Trigonometrie Beispiele
Schritt 1
Schritt 1.1
Vereinfache .
Schritt 1.1.1
Schreibe mithilfe von Sinus und Kosinus um.
Schritt 1.1.2
Wandle von nach um.
Schritt 2
Schritt 2.1
Vereinfache .
Schritt 2.1.1
Vereinfache den Nenner.
Schritt 2.1.1.1
Schreibe mithilfe von Sinus und Kosinus um.
Schritt 2.1.1.2
Wende die Produktregel auf an.
Schritt 2.1.2
Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.
Schritt 2.1.3
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 2.1.4
Multipliziere .
Schritt 2.1.4.1
Kombiniere und .
Schritt 2.1.4.2
Multipliziere mit durch Addieren der Exponenten.
Schritt 2.1.4.2.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.1.4.2.1.1
Potenziere mit .
Schritt 2.1.4.2.1.2
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 2.1.4.2.2
Addiere und .
Schritt 2.1.5
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.1.6
Vereinfache jeden Term.
Schritt 2.1.6.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 2.1.6.2
Multipliziere mit .
Schritt 2.1.6.3
Separiere Brüche.
Schritt 2.1.6.4
Wandle von nach um.
Schritt 2.1.6.5
Dividiere durch .
Schritt 2.1.6.6
Wandle von nach um.
Schritt 3
Da auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.
Schritt 4
Ersetze die durch basierend auf der -Identitätsgleichung.
Schritt 5
Stelle das Polynom um.
Schritt 6
Schritt 6.1
Bewege .
Schritt 6.2
Wende den trigonometrischen Pythagoras an.
Schritt 6.3
Addiere und .
Schritt 7
Da auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.
Schritt 8
Schritt 8.1
Subtrahiere von beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 8.2
Vereinfache jeden Term.
Schritt 8.2.1
Schreibe mithilfe von Sinus und Kosinus um.
Schritt 8.2.2
Schreibe mithilfe von Sinus und Kosinus um.
Schritt 8.2.3
Wende die Produktregel auf an.
Schritt 8.2.4
Kombiniere und .
Schritt 8.2.5
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 8.3
Um als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit .
Schritt 8.4
Um als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit .
Schritt 8.5
Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von multiplizierst.
Schritt 8.5.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 8.5.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 8.5.3
Stelle die Faktoren von um.
Schritt 8.6
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 8.7
Vereinfache den Zähler.
Schritt 8.7.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 8.7.1.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 8.7.1.2
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 8.7.1.3
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 8.7.2
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 8.7.3
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Schritt 8.7.3.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 8.7.3.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 8.7.3.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 8.7.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 8.8
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 8.9
Separiere Brüche.
Schritt 8.10
Wandle von nach um.
Schritt 8.11
Wandle von nach um.
Schritt 8.12
Kombiniere und .
Schritt 8.13
Separiere Brüche.
Schritt 8.14
Schreibe mithilfe von Sinus und Kosinus um.
Schritt 8.15
Schreibe als ein Produkt um.
Schritt 8.16
Vereinfache.
Schritt 8.16.1
Wandle von nach um.
Schritt 8.16.2
Wandle von nach um.
Schritt 8.17
Multipliziere .
Schritt 8.17.1
Kombiniere und .
Schritt 8.17.2
Kombiniere und .
Schritt 8.18
Stelle die Faktoren in um.
Schritt 9
Setze den Zähler gleich Null.
Schritt 10
Schritt 10.1
Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich .
Schritt 10.2
Setze gleich und löse nach auf.
Schritt 10.2.1
Setze gleich .
Schritt 10.2.2
Löse nach auf.
Schritt 10.2.2.1
Wende den inversen Kotangens auf beide Seiten der Gleichung an, um aus dem Kotangens herauszuziehen.
Schritt 10.2.2.2
Vereinfache die rechte Seite.
Schritt 10.2.2.2.1
Der genau Wert von ist .
Schritt 10.2.2.3
Die Kotangens-Funktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu ermitteln, addiere den Referenzwinkel aus , um die Lösung im vierten Quadranten zu bestimmen.
Schritt 10.2.2.4
Vereinfache .
Schritt 10.2.2.4.1
Um als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit .
Schritt 10.2.2.4.2
Kombiniere Brüche.
Schritt 10.2.2.4.2.1
Kombiniere und .
Schritt 10.2.2.4.2.2
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 10.2.2.4.3
Vereinfache den Zähler.
Schritt 10.2.2.4.3.1
Bringe auf die linke Seite von .
Schritt 10.2.2.4.3.2
Addiere und .
Schritt 10.2.2.5
Ermittele die Periode von .
Schritt 10.2.2.5.1
Die Periode der Funktion kann mithilfe von berechnet werden.
Schritt 10.2.2.5.2
Ersetze durch in der Formel für die Periode.
Schritt 10.2.2.5.3
Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen und ist .
Schritt 10.2.2.5.4
Dividiere durch .
Schritt 10.2.2.6
Die Periode der Funktion ist , d. h., Werte werden sich alle rad in beide Richtungen wiederholen.
, für jede ganze Zahl
, für jede ganze Zahl
, für jede ganze Zahl
Schritt 10.3
Setze gleich und löse nach auf.
Schritt 10.3.1
Setze gleich .
Schritt 10.3.2
Der Wertebereich des Kosekans ist und . Da nicht in diesen Bereich fällt, gibt es keine Lösung.
Keine Lösung
Keine Lösung
Schritt 10.4
Setze gleich und löse nach auf.
Schritt 10.4.1
Setze gleich .
Schritt 10.4.2
Löse nach auf.
Schritt 10.4.2.1
Ersetze durch .
Schritt 10.4.2.2
Löse nach auf.
Schritt 10.4.2.2.1
Subtrahiere von .
Schritt 10.4.2.2.2
Faktorisiere durch Gruppieren.
Schritt 10.4.2.2.2.1
Stelle die Terme um.
Schritt 10.4.2.2.2.2
Für ein Polynom der Form schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich und deren Summe gleich ist.
Schritt 10.4.2.2.2.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 10.4.2.2.2.2.2
Schreibe um als plus
Schritt 10.4.2.2.2.2.3
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 10.4.2.2.2.2.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 10.4.2.2.2.2.5
Mutltipliziere mit .
Schritt 10.4.2.2.2.3
Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.
Schritt 10.4.2.2.2.3.1
Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.
Schritt 10.4.2.2.2.3.2
Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.
Schritt 10.4.2.2.2.4
Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, .
Schritt 10.4.2.2.3
Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich .
Schritt 10.4.2.2.4
Setze gleich und löse nach auf.
Schritt 10.4.2.2.4.1
Setze gleich .
Schritt 10.4.2.2.4.2
Löse nach auf.
Schritt 10.4.2.2.4.2.1
Subtrahiere von beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 10.4.2.2.4.2.2
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
Schritt 10.4.2.2.4.2.2.1
Teile jeden Ausdruck in durch .
Schritt 10.4.2.2.4.2.2.2
Vereinfache die linke Seite.
Schritt 10.4.2.2.4.2.2.2.1
Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.
Schritt 10.4.2.2.4.2.2.2.2
Dividiere durch .
Schritt 10.4.2.2.4.2.2.3
Vereinfache die rechte Seite.
Schritt 10.4.2.2.4.2.2.3.1
Dividiere durch .
Schritt 10.4.2.2.4.2.3
Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um aus dem Kosinus herauszuziehen.
Schritt 10.4.2.2.4.2.4
Vereinfache die rechte Seite.
Schritt 10.4.2.2.4.2.4.1
Der genau Wert von ist .
Schritt 10.4.2.2.4.2.5
Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.
Schritt 10.4.2.2.4.2.6
Subtrahiere von .
Schritt 10.4.2.2.4.2.7
Ermittele die Periode von .
Schritt 10.4.2.2.4.2.7.1
Die Periode der Funktion kann mithilfe von berechnet werden.
Schritt 10.4.2.2.4.2.7.2
Ersetze durch in der Formel für die Periode.
Schritt 10.4.2.2.4.2.7.3
Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen und ist .
Schritt 10.4.2.2.4.2.7.4
Dividiere durch .
Schritt 10.4.2.2.4.2.8
Die Periode der Funktion ist , d. h., Werte werden sich alle rad in beide Richtungen wiederholen.
, für jede ganze Zahl
, für jede ganze Zahl
, für jede ganze Zahl
Schritt 10.4.2.2.5
Die endgültige Lösung sind alle Werte, die wahr machen.
, für jede ganze Zahl
, für jede ganze Zahl
, für jede ganze Zahl
, für jede ganze Zahl
Schritt 10.5
Die endgültige Lösung sind alle Werte, die wahr machen.
, für jede ganze Zahl
, für jede ganze Zahl
Schritt 11
Schritt 11.1
Führe und zu zusammen.
, für jede ganze Zahl
Schritt 11.2
Führe und zu zusammen.
, für jede ganze Zahl
, für jede ganze Zahl
Schritt 12
Schließe die Lösungen aus, die nicht erfüllen.
, für jede ganze Zahl