Trigonometrie Beispiele

$9^{8 x - 32} = 3^{x^{2}}$

Schritt 1

Erzeuge äquivalente Ausdrücke in der Gleichung, die alle gleiche Basen haben.

$3^{2 (8 x - 32)} = 3^{x^{2}}$

Schritt 2

Da die Basen gleich sind, sind zwei Ausdrücke nur dann gleich, wenn die Exponenten auch gleich sind.

$2 (8 x - 32) = x^{2}$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Vereinfache $2 (8 x - 32)$ .

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Schritt 3.1.1

Forme um.

$0 + 0 + 2 (8 x - 32) = x^{2}$

Schritt 3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$2 (8 x - 32) = x^{2}$

Schritt 3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (8 x) + 2 \cdot - 32 = x^{2}$

Schritt 3.1.4

Multipliziere.

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Schritt 3.1.4.1

Mutltipliziere $8$ mit $2$ .

$16 x + 2 \cdot - 32 = x^{2}$

Schritt 3.1.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 32$ .

$16 x - 64 = x^{2}$

Schritt 3.2

Subtrahiere $x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$16 x - 64 - x^{2} = 0$

Schritt 3.3

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Faktorisiere $- 1$ aus $16 x - 64 - x^{2}$ heraus.

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Schritt 3.3.1.1

Stelle den Ausdruck um.

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Schritt 3.3.1.1.1

Bewege $- 64$ .

$16 x - x^{2} - 64 = 0$

Schritt 3.3.1.1.2

Stelle $16 x$ und $- x^{2}$ um.

$- x^{2} + 16 x - 64 = 0$

Schritt 3.3.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{2}$ heraus.

$- (x^{2}) + 16 x - 64 = 0$

Schritt 3.3.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $16 x$ heraus.

$- (x^{2}) - (- 16 x) - 64 = 0$

Schritt 3.3.1.4

Schreibe $- 64$ als $- 1 (64)$ um.

$- (x^{2}) - (- 16 x) - 1 \cdot 64 = 0$

Schritt 3.3.1.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2}) - (- 16 x)$ heraus.

$- (x^{2} - 16 x) - 1 \cdot 64 = 0$

Schritt 3.3.1.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2} - 16 x) - 1 (64)$ heraus.

$- (x^{2} - 16 x + 64) = 0$

Schritt 3.3.2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 3.3.2.1

Schreibe $64$ als $8^{2}$ um.

$- (x^{2} - 16 x + 8^{2}) = 0$

Schritt 3.3.2.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$16 x = 2 \cdot x \cdot 8$

Schritt 3.3.2.3

Schreibe das Polynom neu.

$- (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 8 + 8^{2}) = 0$

Schritt 3.3.2.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 8$ .

$- {(x - 8)}^{2} = 0$

Schritt 3.4

Teile jeden Ausdruck in $- {(x - 8)}^{2} = 0$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Teile jeden Ausdruck in $- {(x - 8)}^{2} = 0$ durch $- 1$ .

$\frac{- {(x - 8)}^{2}}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{{(x - 8)}^{2}}{1} = \frac{0}{- 1}$

Schritt 3.4.2.2

Dividiere ${(x - 8)}^{2}$ durch $1$ .

${(x - 8)}^{2} = \frac{0}{- 1}$

Schritt 3.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.3.1

Dividiere $0$ durch $- 1$ .

${(x - 8)}^{2} = 0$

Schritt 3.5

Setze $x - 8$ gleich $0$ .

$x - 8 = 0$

Schritt 3.6

Addiere $8$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 8$