Trigonometrie Beispiele

$5^{x + 1} = 24$

Schritt 1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (5^{x + 1}) = \ln (24)$

Schritt 2

Zerlege $\ln (5^{x + 1})$ durch Herausziehen von $x + 1$ aus dem Logarithmus.

$(x + 1) \ln (5) = \ln (24)$

Schritt 3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1

Vereinfache $(x + 1) \ln (5)$ .

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Schritt 3.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x \ln (5) + 1 \ln (5) = \ln (24)$

Schritt 3.1.2

Mutltipliziere $\ln (5)$ mit $1$ .

$x \ln (5) + \ln (5) = \ln (24)$

Schritt 4

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$x \ln (5) + \ln (5) - \ln (24) = 0$

Schritt 5

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x \ln (5) + \ln (\frac{5}{24}) = 0$

Schritt 6

Subtrahiere $\ln (\frac{5}{24})$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x \ln (5) = - \ln (\frac{5}{24})$

Schritt 7

Teile jeden Ausdruck in $x \ln (5) = - \ln (\frac{5}{24})$ durch $\ln (5)$ und vereinfache.

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Schritt 7.1

Teile jeden Ausdruck in $x \ln (5) = - \ln (\frac{5}{24})$ durch $\ln (5)$ .

$\frac{x \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{- \ln (\frac{5}{24})}{\ln (5)}$

Schritt 7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (5)$ .

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Schritt 7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{- \ln (\frac{5}{24})}{\ln (5)}$

Schritt 7.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- \ln (\frac{5}{24})}{\ln (5)}$

Schritt 7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{\ln (\frac{5}{24})}{\ln (5)}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = - \frac{\ln (\frac{5}{24})}{\ln (5)}$

Dezimalform:

$x = 0.97463586 \dots$