Trigonometrie Beispiele

$4^{2 x} - 63 \cdot 4^{x} - 64 = 0$

Schritt 1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Schreibe $4^{2 x}$ als ${(4^{x})}^{2}$ um.

${(4^{x})}^{2} - 63 \cdot 4^{x} - 64 = 0$

Schritt 1.2

Es sei $u = 4^{x}$ . Ersetze $u$ für alle $4^{x}$ .

$u^{2} - 63 u - 64 = 0$

Schritt 1.3

Faktorisiere $u^{2} - 63 u - 64$ unter der Verwendung der AC-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 64$ und deren Summe $- 63$ ist.

$- 64, 1$

Schritt 1.3.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(u - 64) (u + 1) = 0$

Schritt 1.4

Ersetze alle $u$ durch $4^{x}$ .

$(4^{x} - 64) (4^{x} + 1) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$4^{x} - 64 = 0$

$4^{x} + 1 = 0$

Schritt 3

Setze $4^{x} - 64$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Setze $4^{x} - 64$ gleich $0$ .

$4^{x} - 64 = 0$

Schritt 3.2

Löse $4^{x} - 64 = 0$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Addiere $64$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4^{x} = 64$

Schritt 3.2.2

Erzeuge äquivalente Ausdrücke in der Gleichung, die alle gleiche Basen haben.

$4^{x} = 4^{3}$

Schritt 3.2.3

Da die Basen gleich sind, sind zwei Ausdrücke nur dann gleich, wenn die Exponenten auch gleich sind.

$x = 3$

Schritt 4

Setze $4^{x} + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Setze $4^{x} + 1$ gleich $0$ .

$4^{x} + 1 = 0$

Schritt 4.2

Löse $4^{x} + 1 = 0$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4^{x} = - 1$

Schritt 4.2.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (4^{x}) = \ln (- 1)$

Schritt 4.2.3

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da $\ln (- 1)$ nicht definiert ist.

Undefiniert

Schritt 4.2.4

Es gibt keine Lösung für $4^{x} = - 1$

Keine Lösung

Schritt 5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(4^{x} - 64) (4^{x} + 1) = 0$ wahr machen.

$x = 3$