Trigonometrie Beispiele

x 구하기 3sin(x)^2+2sin(x)=6cos(x)+9sin(x)cos(x)
Schritt 1
Bringe alle Ausdrücke auf die linke Seite der Gleichung.
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Schritt 1.1
Subtrahiere von beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 1.2
Subtrahiere von beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 2
Ersetze die durch basierend auf der -Identitätsgleichung.
Schritt 3
Vereinfache jeden Term.
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Schritt 3.1
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 3.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 4
Stelle das Polynom um.
Schritt 5
Vereinfache die linke Seite.
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Schritt 5.1
Vereinfache .
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Schritt 5.1.1
Vereinfache durch Herausfaktorisieren.
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Schritt 5.1.1.1
Bewege .
Schritt 5.1.1.2
Stelle und um.
Schritt 5.1.1.3
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 5.1.1.4
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 5.1.1.5
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 5.1.2
Wende den trigonometrischen Pythagoras an.
Schritt 6
Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.
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Schritt 6.1
Füge Klammern hinzu.
Schritt 6.2
Es sei . Ersetze für alle .
Schritt 6.3
Stelle die Terme um.
Schritt 6.4
Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.
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Schritt 6.4.1
Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.
Schritt 6.4.2
Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.
Schritt 6.5
Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, .
Schritt 6.6
Faktorisiere aus heraus.
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Schritt 6.6.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 6.6.2
Schreibe als um.
Schritt 6.6.3
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 6.7
Ersetze alle durch .
Schritt 7
Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich .
Schritt 8
Setze gleich und löse nach auf.
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Schritt 8.1
Setze gleich .
Schritt 8.2
Löse nach auf.
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Schritt 8.2.1
Subtrahiere von beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 8.2.2
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
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Schritt 8.2.2.1
Teile jeden Ausdruck in durch .
Schritt 8.2.2.2
Vereinfache die linke Seite.
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Schritt 8.2.2.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 8.2.2.2.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 8.2.2.2.1.2
Dividiere durch .
Schritt 8.2.2.3
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 8.2.2.3.1
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 8.2.3
Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um aus dem Sinus herauszuziehen.
Schritt 8.2.4
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 8.2.4.1
Berechne .
Schritt 8.2.5
Die Sinusfunktion ist negativ im dritten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere die Lösung von , um einen Referenzwinkel zu ermitteln. Addiere als nächstes diesen Referenzwinkel zu , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.
Schritt 8.2.6
Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.
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Schritt 8.2.6.1
Subtrahiere von .
Schritt 8.2.6.2
Der resultierende Winkel von ist positiv, kleiner als und gleich .
Schritt 8.2.7
Ermittele die Periode von .
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Schritt 8.2.7.1
Die Periode der Funktion kann mithilfe von berechnet werden.
Schritt 8.2.7.2
Ersetze durch in der Formel für die Periode.
Schritt 8.2.7.3
Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen und ist .
Schritt 8.2.7.4
Dividiere durch .
Schritt 8.2.8
Addiere zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.
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Schritt 8.2.8.1
Addiere zu , um den positiven Winkel zu bestimmen.
Schritt 8.2.8.2
Subtrahiere von .
Schritt 8.2.8.3
Liste die neuen Winkel auf.
Schritt 8.2.9
Die Periode der Funktion ist , d. h., Werte werden sich alle rad in beide Richtungen wiederholen.
, für jede ganze Zahl
, für jede ganze Zahl
, für jede ganze Zahl
Schritt 9
Setze gleich und löse nach auf.
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Schritt 9.1
Setze gleich .
Schritt 9.2
Löse nach auf.
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Schritt 9.2.1
Teile jeden Term in der Gleichung durch .
Schritt 9.2.2
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 9.2.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 9.2.2.2
Dividiere durch .
Schritt 9.2.3
Separiere Brüche.
Schritt 9.2.4
Wandle von nach um.
Schritt 9.2.5
Dividiere durch .
Schritt 9.2.6
Separiere Brüche.
Schritt 9.2.7
Wandle von nach um.
Schritt 9.2.8
Dividiere durch .
Schritt 9.2.9
Mutltipliziere mit .
Schritt 9.2.10
Subtrahiere von beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 9.2.11
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
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Schritt 9.2.11.1
Teile jeden Ausdruck in durch .
Schritt 9.2.11.2
Vereinfache die linke Seite.
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Schritt 9.2.11.2.1
Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.
Schritt 9.2.11.2.2
Dividiere durch .
Schritt 9.2.11.3
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 9.2.11.3.1
Dividiere durch .
Schritt 9.2.12
Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um aus dem Tangens herauszuziehen.
Schritt 9.2.13
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 9.2.13.1
Berechne .
Schritt 9.2.14
Die Tangensfunktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu finden, addiere den Referenzwinkel von , um die Lösung im vierten Quadranten zu ermitteln.
Schritt 9.2.15
Löse nach auf.
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Schritt 9.2.15.1
Entferne die Klammern.
Schritt 9.2.15.2
Entferne die Klammern.
Schritt 9.2.15.3
Addiere und .
Schritt 9.2.16
Ermittele die Periode von .
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Schritt 9.2.16.1
Die Periode der Funktion kann mithilfe von berechnet werden.
Schritt 9.2.16.2
Ersetze durch in der Formel für die Periode.
Schritt 9.2.16.3
Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen und ist .
Schritt 9.2.16.4
Dividiere durch .
Schritt 9.2.17
Die Periode der Funktion ist , d. h., Werte werden sich alle rad in beide Richtungen wiederholen.
, für jede ganze Zahl
, für jede ganze Zahl
, für jede ganze Zahl
Schritt 10
Die endgültige Lösung sind alle Werte, die wahr machen.
, für jede ganze Zahl
Schritt 11
Führe und zu zusammen.
, für jede ganze Zahl