Trigonometrie Beispiele

$3 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) = 6 \cos (x) + 9 \sin (x) \cos (x)$

Schritt 1

Bringe alle Ausdrücke auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $6 \cos (x)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) - 6 \cos (x) = 9 \sin (x) \cos (x)$

Schritt 1.2

Subtrahiere $9 \sin (x) \cos (x)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) - 6 \cos (x) - 9 \sin (x) \cos (x) = 0$

Schritt 2

Ersetze die $3 \sin^{2} (x)$ durch $3 (1 - \cos^{2} (x))$ basierend auf der $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ -Identitätsgleichung.

$3 (1 - \cos^{2} (x)) + 2 \sin (x) - 6 \cos (x) - 9 \sin (x) \cos (x) = 0$

Schritt 3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 \cdot 1 + 3 (- \cos^{2} (x)) + 2 \sin (x) - 6 \cos (x) - 9 \sin (x) \cos (x) = 0$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3 + 3 (- \cos^{2} (x)) + 2 \sin (x) - 6 \cos (x) - 9 \sin (x) \cos (x) = 0$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$3 - 3 \cos^{2} (x) + 2 \sin (x) - 6 \cos (x) - 9 \sin (x) \cos (x) = 0$

Schritt 4

Stelle das Polynom um.

$- 3 \cos^{2} (x) - 6 \cos (x) - 9 \sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) + 3 = 0$

Schritt 5

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1

Vereinfache $- 3 \cos^{2} (x) - 6 \cos (x) - 9 \sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) + 3$ .

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Schritt 5.1.1

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 5.1.1.1

Bewege $3$ .

$- 3 \cos^{2} (x) + 3 - 6 \cos (x) - 9 \sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) = 0$

Schritt 5.1.1.2

Stelle $- 3 \cos^{2} (x)$ und $3$ um.

$3 - 3 \cos^{2} (x) - 6 \cos (x) - 9 \sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) = 0$

Schritt 5.1.1.3

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$3 (1) - 3 \cos^{2} (x) - 6 \cos (x) - 9 \sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) = 0$

Schritt 5.1.1.4

Faktorisiere $3$ aus $- 3 \cos^{2} (x)$ heraus.

$3 (1) + 3 (- \cos^{2} (x)) - 6 \cos (x) - 9 \sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) = 0$

Schritt 5.1.1.5

Faktorisiere $3$ aus $3 (1) + 3 (- \cos^{2} (x))$ heraus.

$3 (1 - \cos^{2} (x)) - 6 \cos (x) - 9 \sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) = 0$

Schritt 5.1.2

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$3 \sin^{2} (x) - 6 \cos (x) - 9 \sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) = 0$

Schritt 6

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 6.1

Füge Klammern hinzu.

$3 \sin^{2} (x) - 6 \cos (x) - 9 (\sin (x) \cos (x)) + 2 \sin (x) = 0$

Schritt 6.2

Es sei $u = \cos (x)$ . Ersetze $u$ für alle $\cos (x)$ .

$3 \sin^{2} (x) - 6 u - 9 u \sin (x) + 2 \sin (x) = 0$

Schritt 6.3

Stelle die Terme um.

$- 9 u \sin (x) - 6 u + 3 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) = 0$

Schritt 6.4

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 6.4.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(- 9 u \sin (x) - 6 u) + 3 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) = 0$

Schritt 6.4.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$3 u (- 3 \sin (x) - 2) - \sin (x) (- 3 \sin (x) - 2) = 0$

Schritt 6.5

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- 3 \sin (x) - 2$ .

$(- 3 \sin (x) - 2) (3 u - \sin (x)) = 0$

Schritt 6.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 \sin (x) - 2$ heraus.

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Schritt 6.6.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 \sin (x)$ heraus.

$(- (3 \sin (x)) - 2) (3 u - \sin (x)) = 0$

Schritt 6.6.2

Schreibe $- 2$ als $- 1 (2)$ um.

$(- (3 \sin (x)) - 1 \cdot 2) (3 u - \sin (x)) = 0$

Schritt 6.6.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (3 \sin (x)) - 1 (2)$ heraus.

$- (3 \sin (x) + 2) (3 u - \sin (x)) = 0$

Schritt 6.7

Ersetze alle $u$ durch $\cos (x)$ .

$- (3 \sin (x) + 2) (3 \cos (x) - \sin (x)) = 0$

Schritt 7

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$3 \sin (x) + 2 = 0$

$3 \cos (x) - \sin (x) = 0$

Schritt 8

Setze $3 \sin (x) + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.1

Setze $3 \sin (x) + 2$ gleich $0$ .

$3 \sin (x) + 2 = 0$

Schritt 8.2

Löse $3 \sin (x) + 2 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 8.2.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 \sin (x) = - 2$

Schritt 8.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 \sin (x) = - 2$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 8.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 \sin (x) = - 2$ durch $3$ .

$\frac{3 \sin (x)}{3} = \frac{- 2}{3}$

Schritt 8.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 8.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \sin (x)}{3} = \frac{- 2}{3}$

Schritt 8.2.2.2.1.2

Dividiere $\sin (x)$ durch $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 2}{3}$

Schritt 8.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\sin (x) = - \frac{2}{3}$

Schritt 8.2.3

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (- \frac{2}{3})$

Schritt 8.2.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.2.4.1

Berechne $\arcsin (- \frac{2}{3})$ .

$x = - 0.72972765$

Schritt 8.2.5

Die Sinusfunktion ist negativ im dritten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere die Lösung von $2 π$ , um einen Referenzwinkel zu ermitteln. Addiere als nächstes diesen Referenzwinkel zu $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = 2 (3.14159265) + 0.72972765 + 3.14159265$

Schritt 8.2.6

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 8.2.6.1

Subtrahiere $2 π$ von $2 (3.14159265) + 0.72972765 + 3.14159265$ .

$x = 2 (3.14159265) + 0.72972765 + 3.14159265 - 2 π$

Schritt 8.2.6.2

Der resultierende Winkel von $3.8713203$ ist positiv, kleiner als $2 π$ und gleich $2 (3.14159265) + 0.72972765 + 3.14159265$ .

$x = 3.8713203$

Schritt 8.2.7

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 8.2.7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 8.2.7.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 8.2.7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 8.2.7.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 8.2.8

Addiere $2 π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 8.2.8.1

Addiere $2 π$ zu $- 0.72972765$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- 0.72972765 + 2 π$

Schritt 8.2.8.2

Subtrahiere $0.72972765$ von $2 π$ .

$5.55345765$

Schritt 8.2.8.3

Liste die neuen Winkel auf.

$x = 5.55345765$

Schritt 8.2.9

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 3.8713203 + 2 π n, 5.55345765 + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 9

Setze $3 \cos (x) - \sin (x)$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 9.1

Setze $3 \cos (x) - \sin (x)$ gleich $0$ .

$3 \cos (x) - \sin (x) = 0$

Schritt 9.2

Löse $3 \cos (x) - \sin (x) = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 9.2.1

Teile jeden Term in der Gleichung durch $\cos (x)$ .

$\frac{3 \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 9.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x)$ .

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Schritt 9.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 9.2.2.2

Dividiere $3$ durch $1$ .

$3 + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 9.2.3

Separiere Brüche.

$3 + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 9.2.4

Wandle von $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ nach $\tan (x)$ um.

$3 + \frac{- 1}{1} \cdot \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 9.2.5

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$3 - \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 9.2.6

Separiere Brüche.

$3 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Schritt 9.2.7

Wandle von $\frac{1}{\cos (x)}$ nach $\sec (x)$ um.

$3 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Schritt 9.2.8

Dividiere $0$ durch $1$ .

$3 - \tan (x) = 0 \sec (x)$

Schritt 9.2.9

Mutltipliziere $0$ mit $\sec (x)$ .

$3 - \tan (x) = 0$

Schritt 9.2.10

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \tan (x) = - 3$

Schritt 9.2.11

Teile jeden Ausdruck in $- \tan (x) = - 3$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 9.2.11.1

Teile jeden Ausdruck in $- \tan (x) = - 3$ durch $- 1$ .

$\frac{- \tan (x)}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 9.2.11.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 9.2.11.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\tan (x)}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 9.2.11.2.2

Dividiere $\tan (x)$ durch $1$ .

$\tan (x) = \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 9.2.11.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 9.2.11.3.1

Dividiere $- 3$ durch $- 1$ .

$\tan (x) = 3$

Schritt 9.2.12

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$x = \arctan (3)$

Schritt 9.2.13

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 9.2.13.1

Berechne $\arctan (3)$ .

$x = 1.24904577$

Schritt 9.2.14

Die Tangensfunktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu finden, addiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu ermitteln.

$x = (3.14159265) + 1.24904577$

Schritt 9.2.15

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 9.2.15.1

Entferne die Klammern.

$x = 3.14159265 + 1.24904577$

Schritt 9.2.15.2

Entferne die Klammern.

$x = (3.14159265) + 1.24904577$

Schritt 9.2.15.3

Addiere $3.14159265$ und $1.24904577$ .

$x = 4.39063842$

Schritt 9.2.16

Ermittele die Periode von $\tan (x)$ .

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Schritt 9.2.16.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 9.2.16.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 9.2.16.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 9.2.16.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 9.2.17

Die Periode der Funktion $\tan (x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 1.24904577 + π n, 4.39063842 + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 10

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- (3 \sin (x) + 2) (3 \cos (x) - \sin (x)) = 0$ wahr machen.

$x = 3.8713203 + 2 π n, 5.55345765 + 2 π n, 1.24904577 + π n, 4.39063842 + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 11

Führe $1.24904577 + π n$ und $4.39063842 + π n$ zu $1.24904577 + π n$ zusammen.

$x = 3.8713203 + 2 π n, 5.55345765 + 2 π n, 1.24904577 + π n$ , für jede ganze Zahl $n$