Trigonometrie Beispiele

$17^{2} = {(22)}^{2} + {(25)}^{2} - 2 \cdot 22 \cdot 25 \cos (a)$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $22^{2} + 25^{2} - 2 \cdot 22 \cdot (25 \cos (a)) = 17^{2}$ um.

$22^{2} + 25^{2} - 2 \cdot 22 \cdot (25 \cos (a)) = 17^{2}$

Schritt 2

Vereinfache $22^{2} + 25^{2} - 2 \cdot 22 \cdot (25 \cos (a))$ .

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1

Potenziere $22$ mit $2$ .

$484 + 25^{2} - 2 \cdot 22 \cdot (25 \cos (a)) = 17^{2}$

Schritt 2.1.2

Potenziere $25$ mit $2$ .

$484 + 625 - 2 \cdot 22 \cdot (25 \cos (a)) = 17^{2}$

Schritt 2.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $22$ .

$484 + 625 - 44 \cdot (25 \cos (a)) = 17^{2}$

Schritt 2.1.4

Mutltipliziere $25$ mit $- 44$ .

$484 + 625 - 1100 \cos (a) = 17^{2}$

Schritt 2.2

Addiere $484$ und $625$ .

$1109 - 1100 \cos (a) = 17^{2}$

Schritt 3

Potenziere $17$ mit $2$ .

$1109 - 1100 \cos (a) = 289$

Schritt 4

Bringe alle Terme, die nicht $\cos (a)$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Subtrahiere $1109$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 1100 \cos (a) = 289 - 1109$

Schritt 4.2

Subtrahiere $1109$ von $289$ .

$- 1100 \cos (a) = - 820$

Schritt 5

Teile jeden Ausdruck in $- 1100 \cos (a) = - 820$ durch $- 1100$ und vereinfache.

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Schritt 5.1

Teile jeden Ausdruck in $- 1100 \cos (a) = - 820$ durch $- 1100$ .

$\frac{- 1100 \cos (a)}{- 1100} = \frac{- 820}{- 1100}$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 1100$ .

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Schritt 5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1100 \cos (a)}{- 1100} = \frac{- 820}{- 1100}$

Schritt 5.2.1.2

Dividiere $\cos (a)$ durch $1$ .

$\cos (a) = \frac{- 820}{- 1100}$

Schritt 5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 820$ und $- 1100$ .

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Schritt 5.3.1.1

Faktorisiere $- 20$ aus $- 820$ heraus.

$\cos (a) = \frac{- 20 (41)}{- 1100}$

Schritt 5.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.1.2.1

Faktorisiere $- 20$ aus $- 1100$ heraus.

$\cos (a) = \frac{- 20 \cdot 41}{- 20 \cdot 55}$

Schritt 5.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cos (a) = \frac{- 20 \cdot 41}{- 20 \cdot 55}$

Schritt 5.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\cos (a) = \frac{41}{55}$

Schritt 6

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $a$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$a = \arccos (\frac{41}{55})$

Schritt 7

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.1

Berechne $\arccos (\frac{41}{55})$ .

$a = 0.72957981$

Schritt 8

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$a = 2 (3.14159265) - 0.72957981$

Schritt 9

Vereinfache $2 (3.14159265) - 0.72957981$ .

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Schritt 9.1

Mutltipliziere $2$ mit $3.14159265$ .

$a = 6.2831853 - 0.72957981$

Schritt 9.2

Subtrahiere $0.72957981$ von $6.2831853$ .

$a = 5.55360549$

Schritt 10

Ermittele die Periode von $\cos (a)$ .

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Schritt 10.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 10.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 10.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 10.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 11

Die Periode der Funktion $\cos (a)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$a = 0.72957981 + 2 π n, 5.55360549 + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$