Trigonometrie Beispiele

$\frac{1 - 2 \cos^{2} (x)}{\sin (x) \cos (x)} = \tan (x) - \cot (x)$

Schritt 1

Bringe alle Ausdrücke auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $\tan (x)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{1 - 2 \cos^{2} (x)}{\sin (x) \cos (x)} - \tan (x) = - \cot (x)$

Schritt 1.2

Addiere $\cot (x)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{1 - 2 \cos^{2} (x)}{\sin (x) \cos (x)} - \tan (x) + \cot (x) = 0$

Schritt 2

Vereinfache $\frac{1 - 2 \cos^{2} (x)}{\sin (x) \cos (x)} - \tan (x) + \cot (x)$ .

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1

Schreibe $\tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{1 - 2 \cos^{2} (x)}{\sin (x) \cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cot (x) = 0$

Schritt 2.1.2

Schreibe $\cot (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{1 - 2 \cos^{2} (x)}{\sin (x) \cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = 0$

Schritt 2.2

Um $- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{1 - 2 \cos^{2} (x)}{\sin (x) \cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = 0$

Schritt 2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $\sin (x) \cos (x)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.3.1

Mutltipliziere $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ mit $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{1 - 2 \cos^{2} (x)}{\sin (x) \cos (x)} - \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = 0$

Schritt 2.3.2

Stelle die Faktoren von $\sin (x) \cos (x)$ um.

$\frac{1 - 2 \cos^{2} (x)}{\cos (x) \sin (x)} - \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = 0$

Schritt 2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1 - 2 \cos^{2} (x) - \sin (x) \sin (x)}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = 0$

Schritt 2.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.1.1

Multipliziere $- \sin (x) \sin (x)$ .

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Schritt 2.5.1.1.1

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{1 - 2 \cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x))}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = 0$

Schritt 2.5.1.1.2

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{1 - 2 \cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = 0$

Schritt 2.5.1.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1 - 2 \cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = 0$

Schritt 2.5.1.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1 - 2 \cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = 0$

Schritt 2.5.1.2

Bewege $- \sin^{2} (x)$ .

$\frac{1 - \sin^{2} (x) - 2 \cos^{2} (x)}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = 0$

Schritt 2.5.1.3

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{\cos^{2} (x) - 2 \cos^{2} (x)}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = 0$

Schritt 2.5.1.4

Subtrahiere $2 \cos^{2} (x)$ von $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{- \cos^{2} (x)}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = 0$

Schritt 2.5.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $\cos^{2} (x)$ und $\cos (x)$ .

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Schritt 2.5.2.1

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $- \cos^{2} (x)$ heraus.

$\frac{\cos (x) (- \cos (x))}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = 0$

Schritt 2.5.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.5.2.2.1

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $\cos (x) \sin (x)$ heraus.

$\frac{\cos (x) (- \cos (x))}{\cos (x) (\sin (x))} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = 0$

Schritt 2.5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\cos (x) (- \cos (x))}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = 0$

Schritt 2.5.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- \cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = 0$

Schritt 2.5.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = 0$

Schritt 2.6

Addiere $- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ und $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$0 = 0$

Schritt 3

Da $0 = 0$ , wird die Gleichung immer erfüllt sein für jeden Wert von $x$ .

Alle reellen Zahlen

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Alle reellen Zahlen

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$