Trigonometrie Beispiele

$\frac{1}{\csc (x) + 1} + \frac{1}{\sin (x) + 1} = 1$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Vereinfache $\frac{1}{\csc (x) + 1} + \frac{1}{\sin (x) + 1}$ .

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Schritt 1.1.1

Schreibe $\csc (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{1}{\frac{1}{\sin (x)} + 1} + \frac{1}{\sin (x) + 1} = 1$

Schritt 1.1.2

Um $\frac{1}{\frac{1}{\sin (x)} + 1}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\sin (x) + 1}{\sin (x) + 1}$ .

$\frac{1}{\frac{1}{\sin (x)} + 1} \cdot \frac{\sin (x) + 1}{\sin (x) + 1} + \frac{1}{\sin (x) + 1} = 1$

Schritt 1.1.3

Um $\frac{1}{\sin (x) + 1}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\frac{1}{\sin (x)} + 1}{\frac{1}{\sin (x)} + 1}$ .

$\frac{1}{\frac{1}{\sin (x)} + 1} \cdot \frac{\sin (x) + 1}{\sin (x) + 1} + \frac{1}{\sin (x) + 1} \cdot \frac{\frac{1}{\sin (x)} + 1}{\frac{1}{\sin (x)} + 1} = 1$

Schritt 1.1.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(\frac{1}{\sin (x)} + 1) (\sin (x) + 1)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 1.1.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\frac{1}{\sin (x)} + 1}$ mit $\frac{\sin (x) + 1}{\sin (x) + 1}$ .

$\frac{\sin (x) + 1}{(\frac{1}{\sin (x)} + 1) (\sin (x) + 1)} + \frac{1}{\sin (x) + 1} \cdot \frac{\frac{1}{\sin (x)} + 1}{\frac{1}{\sin (x)} + 1} = 1$

Schritt 1.1.4.2

Mutltipliziere $\frac{1}{\sin (x) + 1}$ mit $\frac{\frac{1}{\sin (x)} + 1}{\frac{1}{\sin (x)} + 1}$ .

$\frac{\sin (x) + 1}{(\frac{1}{\sin (x)} + 1) (\sin (x) + 1)} + \frac{\frac{1}{\sin (x)} + 1}{(\sin (x) + 1) (\frac{1}{\sin (x)} + 1)} = 1$

Schritt 1.1.4.3

Stelle die Faktoren von $(\frac{1}{\sin (x)} + 1) (\sin (x) + 1)$ um.

$\frac{\sin (x) + 1}{(\sin (x) + 1) (\frac{1}{\sin (x)} + 1)} + \frac{\frac{1}{\sin (x)} + 1}{(\sin (x) + 1) (\frac{1}{\sin (x)} + 1)} = 1$

Schritt 1.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\sin (x) + 1 + \frac{1}{\sin (x)} + 1}{(\sin (x) + 1) (\frac{1}{\sin (x)} + 1)} = 1$

Schritt 1.1.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\sin (x) + 2 + \frac{1}{\sin (x)}}{(\sin (x) + 1) (\frac{1}{\sin (x)} + 1)} = 1$

Schritt 1.1.7

Wandle von $\frac{1}{\sin (x)}$ nach $\csc (x)$ um.

$\frac{\sin (x) + 2 + \csc (x)}{(\sin (x) + 1) (\frac{1}{\sin (x)} + 1)} = 1$

Schritt 1.1.8

Wandle von $\frac{1}{\sin (x)}$ nach $\csc (x)$ um.

$\frac{\sin (x) + 2 + \csc (x)}{(\sin (x) + 1) (\csc (x) + 1)} = 1$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten mit $(\sin (x) + 1) (\csc (x) + 1)$ .

$\frac{\sin (x) + 2 + \csc (x)}{(\sin (x) + 1) (\csc (x) + 1)} ((\sin (x) + 1) (\csc (x) + 1)) = 1 ((\sin (x) + 1) (\csc (x) + 1))$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.1

Vereinfache $\frac{\sin (x) + 2 + \csc (x)}{(\sin (x) + 1) (\csc (x) + 1)} ((\sin (x) + 1) (\csc (x) + 1))$ .

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Schritt 3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $(\sin (x) + 1) (\csc (x) + 1)$ .

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Schritt 3.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sin (x) + 2 + \csc (x)}{(\sin (x) + 1) (\csc (x) + 1)} ((\sin (x) + 1) (\csc (x) + 1)) = 1 ((\sin (x) + 1) (\csc (x) + 1))$

Schritt 3.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\sin (x) + 2 + \csc (x) = 1 ((\sin (x) + 1) (\csc (x) + 1))$

Schritt 3.1.1.2

Schreibe $\csc (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\sin (x) + 2 + \frac{1}{\sin (x)} = 1 ((\sin (x) + 1) (\csc (x) + 1))$

Schritt 3.1.1.3

Wandle von $\frac{1}{\sin (x)}$ nach $\csc (x)$ um.

$\sin (x) + 2 + \csc (x) = 1 ((\sin (x) + 1) (\csc (x) + 1))$

Schritt 3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache $1 ((\sin (x) + 1) (\csc (x) + 1))$ .

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Schritt 3.2.1.1

Mutltipliziere $(\sin (x) + 1) (\csc (x) + 1)$ mit $1$ .

$\sin (x) + 2 + \csc (x) = (\sin (x) + 1) (\csc (x) + 1)$

Schritt 3.2.1.2

Schreibe $\csc (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\sin (x) + 2 + \csc (x) = (\sin (x) + 1) (\frac{1}{\sin (x)} + 1)$

Schritt 3.2.1.3

Multipliziere $(\sin (x) + 1) (\frac{1}{\sin (x)} + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.2.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\sin (x) + 2 + \csc (x) = \sin (x) (\frac{1}{\sin (x)} + 1) + 1 (\frac{1}{\sin (x)} + 1)$

Schritt 3.2.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\sin (x) + 2 + \csc (x) = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)} + \sin (x) \cdot 1 + 1 (\frac{1}{\sin (x)} + 1)$

Schritt 3.2.1.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\sin (x) + 2 + \csc (x) = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)} + \sin (x) \cdot 1 + 1 \frac{1}{\sin (x)} + 1 \cdot 1$

Schritt 3.2.1.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.2.1.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (x)$ .

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Schritt 3.2.1.4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (x) + 2 + \csc (x) = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)} + \sin (x) \cdot 1 + 1 \frac{1}{\sin (x)} + 1 \cdot 1$

Schritt 3.2.1.4.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\sin (x) + 2 + \csc (x) = 1 + \sin (x) \cdot 1 + 1 \frac{1}{\sin (x)} + 1 \cdot 1$

Schritt 3.2.1.4.1.2

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\sin (x) + 2 + \csc (x) = 1 + \sin (x) + 1 \frac{1}{\sin (x)} + 1 \cdot 1$

Schritt 3.2.1.4.1.3

Mutltipliziere $\frac{1}{\sin (x)}$ mit $1$ .

$\sin (x) + 2 + \csc (x) = 1 + \sin (x) + \frac{1}{\sin (x)} + 1 \cdot 1$

Schritt 3.2.1.4.1.4

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\sin (x) + 2 + \csc (x) = 1 + \sin (x) + \frac{1}{\sin (x)} + 1$

Schritt 3.2.1.4.2

Addiere $1$ und $1$ .

$\sin (x) + 2 + \csc (x) = 2 + \sin (x) + \frac{1}{\sin (x)}$

Schritt 3.2.1.5

Wandle von $\frac{1}{\sin (x)}$ nach $\csc (x)$ um.

$\sin (x) + 2 + \csc (x) = 2 + \sin (x) + \csc (x)$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1.1

Subtrahiere $\sin (x)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\sin (x) + 2 + \csc (x) - \sin (x) = 2 + \csc (x)$

Schritt 4.1.2

Subtrahiere $\csc (x)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\sin (x) + 2 + \csc (x) - \sin (x) - \csc (x) = 2$

Schritt 4.1.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\sin (x) + 2 + \csc (x) - \sin (x) - \csc (x)$ .

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Schritt 4.1.3.1

Subtrahiere $\sin (x)$ von $\sin (x)$ .

$0 + 2 + \csc (x) - \csc (x) = 2$

Schritt 4.1.3.2

Addiere $0$ und $2$ .

$2 + \csc (x) - \csc (x) = 2$

Schritt 4.1.3.3

Subtrahiere $\csc (x)$ von $\csc (x)$ .

$2 + 0 = 2$

Schritt 4.1.3.4

Addiere $2$ und $0$ .

$2 = 2$

Schritt 4.2

Da $2 = 2$ , wird die Gleichung immer erfüllt sein für jeden Wert von $x$ .

Alle reellen Zahlen

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Alle reellen Zahlen

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$