Trigonometrie Beispiele

$\frac{1}{1 - \cos (x)} + \frac{1}{1 + \cos (x)} = 2 \csc^{2} (x)$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Vereinfache $\frac{1}{1 - \cos (x)} + \frac{1}{1 + \cos (x)}$ .

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Schritt 1.1.1

Um $\frac{1}{1 - \cos (x)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ .

$\frac{1}{1 - \cos (x)} \cdot \frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)} + \frac{1}{1 + \cos (x)} = 2 \csc^{2} (x)$

Schritt 1.1.2

Um $\frac{1}{1 + \cos (x)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$ .

$\frac{1}{1 - \cos (x)} \cdot \frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)} + \frac{1}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)} = 2 \csc^{2} (x)$

Schritt 1.1.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 1.1.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{1 - \cos (x)}$ mit $\frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ .

$\frac{1 + \cos (x)}{(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))} + \frac{1}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)} = 2 \csc^{2} (x)$

Schritt 1.1.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{1 + \cos (x)}$ mit $\frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$ .

$\frac{1 + \cos (x)}{(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))} + \frac{1 - \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))} = 2 \csc^{2} (x)$

Schritt 1.1.3.3

Stelle die Faktoren von $(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))$ um.

$\frac{1 + \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))} + \frac{1 - \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))} = 2 \csc^{2} (x)$

Schritt 1.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1 + \cos (x) + 1 - \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))} = 2 \csc^{2} (x)$

Schritt 1.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.5.1

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2 + \cos (x) - \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))} = 2 \csc^{2} (x)$

Schritt 1.1.5.2

Subtrahiere $\cos (x)$ von $\cos (x)$ .

$\frac{2 + 0}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))} = 2 \csc^{2} (x)$

Schritt 1.1.5.3

Addiere $2$ und $0$ .

$\frac{2}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))} = 2 \csc^{2} (x)$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten mit $(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))$ .

$\frac{2}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))} ((1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))) = 2 \csc^{2} (x) ((1 + \cos (x)) (1 - \cos (x)))$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))$ .

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Schritt 3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))} ((1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))) = 2 \csc^{2} (x) ((1 + \cos (x)) (1 - \cos (x)))$

Schritt 3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$2 = 2 \csc^{2} (x) ((1 + \cos (x)) (1 - \cos (x)))$

Schritt 3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache $2 \csc^{2} (x) ((1 + \cos (x)) (1 - \cos (x)))$ .

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Schritt 3.2.1.1

Schreibe $\csc (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$2 = 2 {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} ((1 + \cos (x)) (1 - \cos (x)))$

Schritt 3.2.1.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.2.1.2.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\sin (x)}$ an.

$2 = 2 \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} ((1 + \cos (x)) (1 - \cos (x)))$

Schritt 3.2.1.2.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$2 = 2 \frac{1}{\sin^{2} (x)} ((1 + \cos (x)) (1 - \cos (x)))$

Schritt 3.2.1.2.3

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ .

$2 = \frac{2}{\sin^{2} (x)} ((1 + \cos (x)) (1 - \cos (x)))$

Schritt 3.2.1.3

Multipliziere $(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.2.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 = \frac{2}{\sin^{2} (x)} (1 (1 - \cos (x)) + \cos (x) (1 - \cos (x)))$

Schritt 3.2.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 = \frac{2}{\sin^{2} (x)} (1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) + \cos (x) (1 - \cos (x)))$

Schritt 3.2.1.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 = \frac{2}{\sin^{2} (x)} (1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \cos (x)))$

Schritt 3.2.1.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.2.1.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.4.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$2 = \frac{2}{\sin^{2} (x)} (1 + 1 (- \cos (x)) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \cos (x)))$

Schritt 3.2.1.4.1.2

Mutltipliziere $- \cos (x)$ mit $1$ .

$2 = \frac{2}{\sin^{2} (x)} (1 - \cos (x) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \cos (x)))$

Schritt 3.2.1.4.1.3

Mutltipliziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$2 = \frac{2}{\sin^{2} (x)} (1 - \cos (x) + \cos (x) + \cos (x) (- \cos (x)))$

Schritt 3.2.1.4.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 = \frac{2}{\sin^{2} (x)} (1 - \cos (x) + \cos (x) - \cos (x) \cos (x))$

Schritt 3.2.1.4.1.5

Multipliziere $- \cos (x) \cos (x)$ .

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Schritt 3.2.1.4.1.5.1

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$2 = \frac{2}{\sin^{2} (x)} (1 - \cos (x) + \cos (x) - (\cos^{1} (x) \cos (x)))$

Schritt 3.2.1.4.1.5.2

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$2 = \frac{2}{\sin^{2} (x)} (1 - \cos (x) + \cos (x) - (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)))$

Schritt 3.2.1.4.1.5.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 = \frac{2}{\sin^{2} (x)} (1 - \cos (x) + \cos (x) - {\cos (x)}^{1 + 1})$

Schritt 3.2.1.4.1.5.4

Addiere $1$ und $1$ .

$2 = \frac{2}{\sin^{2} (x)} (1 - \cos (x) + \cos (x) - \cos^{2} (x))$

Schritt 3.2.1.4.2

Addiere $- \cos (x)$ und $\cos (x)$ .

$2 = \frac{2}{\sin^{2} (x)} (1 + 0 - \cos^{2} (x))$

Schritt 3.2.1.4.3

Addiere $1$ und $0$ .

$2 = \frac{2}{\sin^{2} (x)} (1 - \cos^{2} (x))$

Schritt 3.2.1.5

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$2 = \frac{2}{\sin^{2} (x)} \sin^{2} (x)$

Schritt 3.2.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin^{2} (x)$ .

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Schritt 3.2.1.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 = \frac{2}{\sin^{2} (x)} \sin^{2} (x)$

Schritt 3.2.1.6.2

Forme den Ausdruck um.

$2 = 2$

Schritt 4

Da $2 = 2$ , wird die Gleichung immer erfüllt sein für jeden Wert von $x$ .

Alle reellen Zahlen

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Alle reellen Zahlen

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$