Trigonometrie Beispiele

$\frac{x^{2} - 7}{x + 4} = f (x)$

Schritt 1

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 1.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$x + 4, 1$

Schritt 1.2

Entferne die Klammern.

$x + 4, 1$

Schritt 1.3

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$x + 4$

Schritt 2

Multipliziere jeden Term in $\frac{x^{2} - 7}{x + 4} = f (x)$ mit $x + 4$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 2.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{x^{2} - 7}{x + 4} = f (x)$ mit $x + 4$ .

$\frac{x^{2} - 7}{x + 4} (x + 4) = f (x) (x + 4)$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 4$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2} - 7}{x + 4} (x + 4) = f (x) (x + 4)$

Schritt 2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} - 7 = f (x) (x + 4)$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} - 7 = f (x) x + f (x) \cdot 4$

Schritt 2.3.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.2.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von $f (x)$ .

$x^{2} - 7 = f (x) x + 4 \cdot f (x)$

Schritt 2.3.2.2

Stelle die Faktoren in $f (x) x + 4 f (x)$ um.

$x^{2} - 7 = x f (x) + 4 f (x)$

Schritt 3

Löse die Gleichung.

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Schritt 3.1

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$x f (x) + 4 f x = x^{2} - 7$

Schritt 3.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.1

Bewege $x$ .

$x \cdot x f + 4 f x = x^{2} - 7$

Schritt 3.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} f + 4 f x = x^{2} - 7$

Schritt 3.3

Subtrahiere $x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} f + 4 f x - x^{2} = - 7$

Schritt 3.4

Addiere $7$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} f + 4 f x - x^{2} + 7 = 0$

Schritt 3.5

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3.6

Setze die Werte $a = f - 1$ , $b = 4 f$ und $c = 7$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 4 f \pm \sqrt{{(4 f)}^{2} - 4 \cdot ((f - 1) \cdot 7)}}{2 (f - 1)}$

Schritt 3.7

Vereinfache.

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Schritt 3.7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.7.1.1

Füge Klammern hinzu.

$x = \frac{- 4 f \pm \sqrt{{(4 f)}^{2} - 4 \cdot ((f - 1) \cdot 7)}}{2 (f - 1)}$

Schritt 3.7.1.2

Es sei $u = (f - 1) \cdot 7$ . Ersetze $u$ für alle $(f - 1) \cdot 7$ .

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Schritt 3.7.1.2.1

Wende die Produktregel auf $4 f$ an.

$x = \frac{- 4 f \pm \sqrt{4^{2} f^{2} - 4 \cdot u}}{2 (f - 1)}$

Schritt 3.7.1.2.2

Potenziere $4$ mit $2$ .

$x = \frac{- 4 f \pm \sqrt{16 f^{2} - 4 u}}{2 (f - 1)}$

Schritt 3.7.1.3

Faktorisiere $4$ aus $16 f^{2} - 4 u$ heraus.

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Schritt 3.7.1.3.1

Faktorisiere $4$ aus $16 f^{2}$ heraus.

$x = \frac{- 4 f \pm \sqrt{4 (4 f^{2}) - 4 u}}{2 (f - 1)}$

Schritt 3.7.1.3.2

Faktorisiere $4$ aus $- 4 u$ heraus.

$x = \frac{- 4 f \pm \sqrt{4 (4 f^{2}) + 4 (- u)}}{2 (f - 1)}$

Schritt 3.7.1.3.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (4 f^{2}) + 4 (- u)$ heraus.

$x = \frac{- 4 f \pm \sqrt{4 (4 f^{2} - u)}}{2 (f - 1)}$

Schritt 3.7.1.4

Ersetze alle $u$ durch $(f - 1) \cdot 7$ .

$x = \frac{- 4 f \pm \sqrt{4 (4 f^{2} - ((f - 1) \cdot 7))}}{2 (f - 1)}$

Schritt 3.7.1.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.7.1.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{- 4 f \pm \sqrt{4 (4 f^{2} - (f \cdot 7 - 1 \cdot 7))}}{2 (f - 1)}$

Schritt 3.7.1.5.2

Bringe $7$ auf die linke Seite von $f$ .

$x = \frac{- 4 f \pm \sqrt{4 (4 f^{2} - (7 \cdot f - 1 \cdot 7))}}{2 (f - 1)}$

Schritt 3.7.1.5.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $7$ .

$x = \frac{- 4 f \pm \sqrt{4 (4 f^{2} - (7 \cdot f - 7))}}{2 (f - 1)}$

Schritt 3.7.1.5.4

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{- 4 f \pm \sqrt{4 (4 f^{2} - (7 f) + 7)}}{2 (f - 1)}$

Schritt 3.7.1.5.5

Mutltipliziere $7$ mit $- 1$ .

$x = \frac{- 4 f \pm \sqrt{4 (4 f^{2} - 7 f + 7)}}{2 (f - 1)}$

Schritt 3.7.1.5.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 7$ .

$x = \frac{- 4 f \pm \sqrt{4 (4 f^{2} - 7 f + 7)}}{2 (f - 1)}$

Schritt 3.7.1.6

Schreibe $4 (4 f^{2} - 7 f + 7)$ als $2^{2} ({(2 f)}^{2} - 7 f + 7)$ um.

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Schritt 3.7.1.6.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 4 f \pm \sqrt{2^{2} (4 f^{2} - 7 f + 7)}}{2 (f - 1)}$

Schritt 3.7.1.6.2

Schreibe $4 f^{2}$ als ${(2 f)}^{2}$ um.

$x = \frac{- 4 f \pm \sqrt{2^{2} ({(2 f)}^{2} - 7 f + 7)}}{2 (f - 1)}$

Schritt 3.7.1.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 4 f \pm 2 \sqrt{{(2 f)}^{2} - 7 f + 7}}{2 (f - 1)}$

Schritt 3.7.1.8

Wende die Produktregel auf $2 f$ an.

$x = \frac{- 4 f \pm 2 \sqrt{2^{2} f^{2} - 7 f + 7}}{2 (f - 1)}$

Schritt 3.7.1.9

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{- 4 f \pm 2 \sqrt{4 f^{2} - 7 f + 7}}{2 (f - 1)}$

Schritt 3.7.2

Vereinfache $\frac{- 4 f \pm 2 \sqrt{4 f^{2} - 7 f + 7}}{2 (f - 1)}$ .

$x = \frac{- 2 f \pm \sqrt{4 f^{2} - 7 f + 7}}{f - 1}$

Schritt 3.8

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - \frac{2 f - \sqrt{4 f^{2} - 7 f + 7}}{f - 1}$

$x = - \frac{2 f + \sqrt{4 f^{2} - 7 f + 7}}{f - 1}$

$x = - \frac{2 f - \sqrt{4 f^{2} - 7 f + 7}}{f - 1}$

$x = - \frac{2 f + \sqrt{4 f^{2} - 7 f + 7}}{f - 1}$