Trigonometrie Beispiele

$\frac{x^{2}}{169} + \frac{y^{2}}{25} = 1$

Schritt 1

Subtrahiere $\frac{y^{2}}{25}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{x^{2}}{169} = 1 - \frac{y^{2}}{25}$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $169$ .

$169 \frac{x^{2}}{169} = 169 (1 - \frac{y^{2}}{25})$

Schritt 3

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $169$ .

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Schritt 3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$169 \frac{x^{2}}{169} = 169 (1 - \frac{y^{2}}{25})$

Schritt 3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} = 169 (1 - \frac{y^{2}}{25})$

Schritt 3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache $169 (1 - \frac{y^{2}}{25})$ .

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Schritt 3.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} = 169 \cdot 1 + 169 (- \frac{y^{2}}{25})$

Schritt 3.2.1.2

Mutltipliziere $169$ mit $1$ .

$x^{2} = 169 + 169 (- \frac{y^{2}}{25})$

Schritt 3.2.1.3

Multipliziere $169 (- \frac{y^{2}}{25})$ .

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Schritt 3.2.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $169$ .

$x^{2} = 169 - 169 \frac{y^{2}}{25}$

Schritt 3.2.1.3.2

Kombiniere $- 169$ und $\frac{y^{2}}{25}$ .

$x^{2} = 169 + \frac{- 169 y^{2}}{25}$

Schritt 3.2.1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x^{2} = 169 - \frac{169 y^{2}}{25}$

Schritt 4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{169 - \frac{169 y^{2}}{25}}$

Schritt 5

Vereinfache $\pm \sqrt{169 - \frac{169 y^{2}}{25}}$ .

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Schritt 5.1

Formuliere den Ausdruck mithilfe von Exponenten.

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Schritt 5.1.1

Schreibe $169$ als $13^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{13^{2} - \frac{169 y^{2}}{25}}$

Schritt 5.1.2

Schreibe $\frac{169 y^{2}}{25}$ als ${(\frac{13 y}{5})}^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{13^{2} - {(\frac{13 y}{5})}^{2}}$

Schritt 5.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 13$ und $b = \frac{13 y}{5}$ .

$x = \pm \sqrt{(13 + \frac{13 y}{5}) (13 - \frac{13 y}{5})}$

Schritt 5.3

Um $13$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$x = \pm \sqrt{(13 \cdot \frac{5}{5} + \frac{13 y}{5}) (13 - \frac{13 y}{5})}$

Schritt 5.4

Kombiniere $13$ und $\frac{5}{5}$ .

$x = \pm \sqrt{(\frac{13 \cdot 5}{5} + \frac{13 y}{5}) (13 - \frac{13 y}{5})}$

Schritt 5.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \pm \sqrt{\frac{13 \cdot 5 + 13 y}{5} (13 - \frac{13 y}{5})}$

Schritt 5.6

Faktorisiere $13$ aus $13 \cdot 5 + 13 y$ heraus.

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Schritt 5.6.1

Faktorisiere $13$ aus $13 \cdot 5$ heraus.

$x = \pm \sqrt{\frac{13 (5) + 13 y}{5} (13 - \frac{13 y}{5})}$

Schritt 5.6.2

Faktorisiere $13$ aus $13 y$ heraus.

$x = \pm \sqrt{\frac{13 (5) + 13 (y)}{5} (13 - \frac{13 y}{5})}$

Schritt 5.6.3

Faktorisiere $13$ aus $13 (5) + 13 (y)$ heraus.

$x = \pm \sqrt{\frac{13 (5 + y)}{5} (13 - \frac{13 y}{5})}$

Schritt 5.7

Um $13$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{13 (5 + y)}{5} (13 \cdot \frac{5}{5} - \frac{13 y}{5})}$

Schritt 5.8

Kombiniere $13$ und $\frac{5}{5}$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{13 (5 + y)}{5} (\frac{13 \cdot 5}{5} - \frac{13 y}{5})}$

Schritt 5.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \pm \sqrt{\frac{13 (5 + y)}{5} \cdot \frac{13 \cdot 5 - 13 y}{5}}$

Schritt 5.10

Faktorisiere $13$ aus $13 \cdot 5 - 13 y$ heraus.

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Schritt 5.10.1

Faktorisiere $13$ aus $13 \cdot 5$ heraus.

$x = \pm \sqrt{\frac{13 (5 + y)}{5} \cdot \frac{13 (5) - 13 y}{5}}$

Schritt 5.10.2

Faktorisiere $13$ aus $- 13 y$ heraus.

$x = \pm \sqrt{\frac{13 (5 + y)}{5} \cdot \frac{13 (5) + 13 (- y)}{5}}$

Schritt 5.10.3

Faktorisiere $13$ aus $13 (5) + 13 (- y)$ heraus.

$x = \pm \sqrt{\frac{13 (5 + y)}{5} \cdot \frac{13 (5 - y)}{5}}$

Schritt 5.11

Mutltipliziere $\frac{13 (5 + y)}{5}$ mit $\frac{13 (5 - y)}{5}$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{13 (5 + y) (13 (5 - y))}{5 \cdot 5}}$

Schritt 5.12

Multipliziere.

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Schritt 5.12.1

Mutltipliziere $13$ mit $13$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{169 (5 + y) (5 - y)}{5 \cdot 5}}$

Schritt 5.12.2

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{169 (5 + y) (5 - y)}{25}}$

Schritt 5.13

Schreibe $\frac{169 (5 + y) (5 - y)}{25}$ als ${(\frac{13}{5})}^{2} ((5 + y) (5 - y))$ um.

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Schritt 5.13.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $13^{2}$ aus $169 (5 + y) (5 - y)$ heraus.

$x = \pm \sqrt{\frac{13^{2} ((5 + y) (5 - y))}{25}}$

Schritt 5.13.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $5^{2}$ aus $25$ heraus.

$x = \pm \sqrt{\frac{13^{2} ((5 + y) (5 - y))}{5^{2} \cdot 1}}$

Schritt 5.13.3

Ordne den Bruch $\frac{13^{2} ((5 + y) (5 - y))}{5^{2} \cdot 1}$ um.

$x = \pm \sqrt{{(\frac{13}{5})}^{2} ((5 + y) (5 - y))}$

Schritt 5.14

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \pm \frac{13}{5} \sqrt{(5 + y) (5 - y)}$

Schritt 5.15

Kombiniere $\frac{13}{5}$ und $\sqrt{(5 + y) (5 - y)}$ .

$x = \pm \frac{13 \sqrt{(5 + y) (5 - y)}}{5}$

Schritt 6

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 6.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{13 \sqrt{(5 + y) (5 - y)}}{5}$

Schritt 6.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{13 \sqrt{(5 + y) (5 - y)}}{5}$

Schritt 6.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{13 \sqrt{(5 + y) (5 - y)}}{5}$

$x = - \frac{13 \sqrt{(5 + y) (5 - y)}}{5}$

$x = \frac{13 \sqrt{(5 + y) (5 - y)}}{5}$

$x = - \frac{13 \sqrt{(5 + y) (5 - y)}}{5}$