Trigonometrie Beispiele

$\frac{2 \cot (2 x)}{\cos (x) - \sin (x)} = \csc (x) + \sec (x)$

Schritt 1

Multipliziere beide Seiten mit $\cos (x) - \sin (x)$ .

$\frac{2 \cot (2 x)}{\cos (x) - \sin (x)} (\cos (x) - \sin (x)) = (\csc (x) + \sec (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.1.1

Vereinfache $\frac{2 \cot (2 x)}{\cos (x) - \sin (x)} (\cos (x) - \sin (x))$ .

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Schritt 2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x) - \sin (x)$ .

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Schritt 2.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cot (2 x)}{\cos (x) - \sin (x)} (\cos (x) - \sin (x)) = (\csc (x) + \sec (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

Schritt 2.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$2 \cot (2 x) = (\csc (x) + \sec (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

Schritt 2.1.1.2

Schreibe $\cot (2 x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$2 \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = (\csc (x) + \sec (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

Schritt 2.1.1.3

Kombiniere $2$ und $\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}$ .

$\frac{2 \cos (2 x)}{\sin (2 x)} = (\csc (x) + \sec (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

Schritt 2.1.1.4

Separiere Brüche.

$\frac{2}{1} \cdot \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = (\csc (x) + \sec (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

Schritt 2.1.1.5

Wandle von $\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}$ nach $\cot (2 x)$ um.

$\frac{2}{1} \cot (2 x) = (\csc (x) + \sec (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

Schritt 2.1.1.6

Dividiere $2$ durch $1$ .

$2 \cot (2 x) = (\csc (x) + \sec (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

Schritt 2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache $(\csc (x) + \sec (x)) (\cos (x) - \sin (x))$ .

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Schritt 2.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1.1

Schreibe $\csc (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$2 \cot (2 x) = (\frac{1}{\sin (x)} + \sec (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

Schritt 2.2.1.1.2

Schreibe $\sec (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$2 \cot (2 x) = (\frac{1}{\sin (x)} + \frac{1}{\cos (x)}) (\cos (x) - \sin (x))$

Schritt 2.2.1.2

Multipliziere $(\frac{1}{\sin (x)} + \frac{1}{\cos (x)}) (\cos (x) - \sin (x))$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.2.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 \cot (2 x) = \frac{1}{\sin (x)} (\cos (x) - \sin (x)) + \frac{1}{\cos (x)} (\cos (x) - \sin (x))$

Schritt 2.2.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 \cot (2 x) = \frac{1}{\sin (x)} \cos (x) + \frac{1}{\sin (x)} (- \sin (x)) + \frac{1}{\cos (x)} (\cos (x) - \sin (x))$

Schritt 2.2.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 \cot (2 x) = \frac{1}{\sin (x)} \cos (x) + \frac{1}{\sin (x)} (- \sin (x)) + \frac{1}{\cos (x)} \cos (x) + \frac{1}{\cos (x)} (- \sin (x))$

Schritt 2.2.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.2.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.3.1.1

Kombiniere $\frac{1}{\sin (x)}$ und $\cos (x)$ .

$2 \cot (2 x) = \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{1}{\sin (x)} (- \sin (x)) + \frac{1}{\cos (x)} \cos (x) + \frac{1}{\cos (x)} (- \sin (x))$

Schritt 2.2.1.3.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 \cot (2 x) = \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} \sin (x) + \frac{1}{\cos (x)} \cos (x) + \frac{1}{\cos (x)} (- \sin (x))$

Schritt 2.2.1.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (x)$ .

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Schritt 2.2.1.3.1.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{\sin (x)}$ in den Zähler.

$2 \cot (2 x) = \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{- 1}{\sin (x)} \sin (x) + \frac{1}{\cos (x)} \cos (x) + \frac{1}{\cos (x)} (- \sin (x))$

Schritt 2.2.1.3.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cot (2 x) = \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{- 1}{\sin (x)} \sin (x) + \frac{1}{\cos (x)} \cos (x) + \frac{1}{\cos (x)} (- \sin (x))$

Schritt 2.2.1.3.1.3.3

Forme den Ausdruck um.

$2 \cot (2 x) = \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - 1 + \frac{1}{\cos (x)} \cos (x) + \frac{1}{\cos (x)} (- \sin (x))$

Schritt 2.2.1.3.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x)$ .

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Schritt 2.2.1.3.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cot (2 x) = \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - 1 + \frac{1}{\cos (x)} \cos (x) + \frac{1}{\cos (x)} (- \sin (x))$

Schritt 2.2.1.3.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$2 \cot (2 x) = \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - 1 + 1 + \frac{1}{\cos (x)} (- \sin (x))$

Schritt 2.2.1.3.1.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 \cot (2 x) = \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - 1 + 1 - \frac{1}{\cos (x)} \sin (x)$

Schritt 2.2.1.3.1.6

Kombiniere $\sin (x)$ und $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$2 \cot (2 x) = \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - 1 + 1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 2.2.1.3.2

Addiere $- 1$ und $1$ .

$2 \cot (2 x) = \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 0 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 2.2.1.3.3

Addiere $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ und $0$ .

$2 \cot (2 x) = \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 2.2.1.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.4.1

Wandle von $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ nach $\cot (x)$ um.

$2 \cot (2 x) = \cot (x) - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 2.2.1.4.2

Wandle von $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ nach $\tan (x)$ um.

$2 \cot (2 x) = \cot (x) - \tan (x)$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.1

Vereinfache $2 \cot (2 x)$ .

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Schritt 3.1.1.1

Schreibe $\cot (2 x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$2 \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \cot (x) - \tan (x)$

Schritt 3.1.1.2

Kombiniere $2$ und $\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}$ .

$\frac{2 \cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \cot (x) - \tan (x)$

Schritt 3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

Schreibe $\cot (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{2 \cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \tan (x)$

Schritt 3.2.1.2

Schreibe $\tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{2 \cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 3.3

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\sin (2 x)$ .

$\sin (2 x) \frac{2 \cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \sin (2 x) (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Schritt 3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (2 x)$ .

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Schritt 3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (2 x) \frac{2 \cos (2 x)}{\sin (2 x)} = \sin (2 x) (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Schritt 3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$2 \cos (2 x) = \sin (2 x) (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Schritt 3.5

Wende das Distributivgesetz an.

$2 \cos (2 x) = \sin (2 x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \sin (2 x) (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Schritt 3.6

Kombiniere $\sin (2 x)$ und $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$2 \cos (2 x) = \frac{\sin (2 x) \cos (x)}{\sin (x)} + \sin (2 x) (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Schritt 3.7

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 \cos (2 x) = \frac{\sin (2 x) \cos (x)}{\sin (x)} - \sin (2 x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 3.8

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.8.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.8.1.1

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Sinus an.

$2 \cos (2 x) = \frac{2 \sin (x) \cos (x) \cos (x)}{\sin (x)} - \sin (2 x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 3.8.1.2

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 3.8.1.2.1

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$2 \cos (2 x) = \frac{2 \sin (x) (\cos^{1} (x) \cos (x))}{\sin (x)} - \sin (2 x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 3.8.1.2.2

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$2 \cos (2 x) = \frac{2 \sin (x) (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))}{\sin (x)} - \sin (2 x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 3.8.1.2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 \cos (2 x) = \frac{2 \sin (x) {\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x)} - \sin (2 x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 3.8.1.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$2 \cos (2 x) = \frac{2 \sin (x) \cos^{2} (x)}{\sin (x)} - \sin (2 x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 3.8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (x)$ .

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Schritt 3.8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cos (2 x) = \frac{2 \sin (x) \cos^{2} (x)}{\sin (x)} - \sin (2 x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 3.8.2.2

Dividiere $2 \cos^{2} (x)$ durch $1$ .

$2 \cos (2 x) = 2 \cos^{2} (x) - \sin (2 x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 3.8.3

Kombiniere $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ und $\sin (2 x)$ .

$2 \cos (2 x) = 2 \cos^{2} (x) - \frac{\sin (x) \sin (2 x)}{\cos (x)}$

Schritt 3.8.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.8.4.1

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Sinus an.

$2 \cos (2 x) = 2 \cos^{2} (x) - \frac{\sin (x) \cdot 2 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)}$

Schritt 3.8.4.2

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 3.8.4.2.1

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$2 \cos (2 x) = 2 \cos^{2} (x) - \frac{2 (\sin^{1} (x) \sin (x)) \cos (x)}{\cos (x)}$

Schritt 3.8.4.2.2

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$2 \cos (2 x) = 2 \cos^{2} (x) - \frac{2 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) \cos (x)}{\cos (x)}$

Schritt 3.8.4.2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 \cos (2 x) = 2 \cos^{2} (x) - \frac{2 {\sin (x)}^{1 + 1} \cos (x)}{\cos (x)}$

Schritt 3.8.4.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$2 \cos (2 x) = 2 \cos^{2} (x) - \frac{2 \sin^{2} (x) \cos (x)}{\cos (x)}$

Schritt 3.8.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x)$ .

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Schritt 3.8.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cos (2 x) = 2 \cos^{2} (x) - \frac{2 \sin^{2} (x) \cos (x)}{\cos (x)}$

Schritt 3.8.5.2

Dividiere $2 \sin^{2} (x)$ durch $1$ .

$2 \cos (2 x) = 2 \cos^{2} (x) - (2 \sin^{2} (x))$

Schritt 3.8.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$2 \cos (2 x) = 2 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x)$

Schritt 3.9

Bringe alle Ausdrücke auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.9.1

Subtrahiere $2 \cos^{2} (x)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 \cos (2 x) - 2 \cos^{2} (x) = - 2 \sin^{2} (x)$

Schritt 3.9.2

Addiere $2 \sin^{2} (x)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 \cos (2 x) - 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) = 0$

Schritt 3.10

Wende die Doppelwinkelfunktion an, um $\cos (2 x)$ nach $1 - 2 \sin^{2} (x)$ zu transformieren.

$2 (1 - 2 \sin^{2} (x)) - 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) = 0$

Schritt 3.11

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.11.1

Vereinfache $2 (1 - 2 \sin^{2} (x)) - 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x)$ .

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Schritt 3.11.1.1

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 3.11.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 (1 - 2 \sin^{2} (x)) - 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x)$ heraus.

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Schritt 3.11.1.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 \cos^{2} (x)$ heraus.

$2 (1 - 2 \sin^{2} (x)) + 2 (- \cos^{2} (x)) + 2 \sin^{2} (x) = 0$

Schritt 3.11.1.1.1.2

Faktorisiere $2$ aus $2 \sin^{2} (x)$ heraus.

$2 (1 - 2 \sin^{2} (x)) + 2 (- \cos^{2} (x)) + 2 (\sin^{2} (x)) = 0$

Schritt 3.11.1.1.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (1 - 2 \sin^{2} (x)) + 2 (- \cos^{2} (x))$ heraus.

$2 (1 - 2 \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)) + 2 (\sin^{2} (x)) = 0$

Schritt 3.11.1.1.1.4

Faktorisiere $2$ aus $2 (1 - 2 \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)) + 2 (\sin^{2} (x))$ heraus.

$2 (1 - 2 \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)) = 0$

Schritt 3.11.1.1.2

Bewege $- \cos^{2} (x)$ .

$2 (1 - \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) + \sin^{2} (x)) = 0$

Schritt 3.11.1.2

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$2 (\sin^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) + \sin^{2} (x)) = 0$

Schritt 3.11.1.3

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 3.11.1.3.1

Subtrahiere $2 \sin^{2} (x)$ von $\sin^{2} (x)$ .

$2 (- \sin^{2} (x) + \sin^{2} (x)) = 0$

Schritt 3.11.1.3.2

Addiere $- \sin^{2} (x)$ und $\sin^{2} (x)$ .

$2 \cdot 0 = 0$

Schritt 3.11.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$0 = 0$

Schritt 3.12

Da $0 = 0$ , wird die Gleichung immer erfüllt sein für jeden Wert von $x$ .

Alle reellen Zahlen

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Alle reellen Zahlen

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$