Trigonometrie Beispiele

${(\frac{12}{13})}^{2} + \cos^{2} (x) = 1$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{12}{13}$ an.

$\frac{12^{2}}{13^{2}} + \cos^{2} (x) = 1$

Schritt 1.2

Potenziere $12$ mit $2$ .

$\frac{144}{13^{2}} + \cos^{2} (x) = 1$

Schritt 1.3

Potenziere $13$ mit $2$ .

$\frac{144}{169} + \cos^{2} (x) = 1$

Schritt 2

Bringe alle Terme, die nicht $\cos (x)$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Subtrahiere $\frac{144}{169}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\cos^{2} (x) = 1 - \frac{144}{169}$

Schritt 2.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\cos^{2} (x) = \frac{169}{169} - \frac{144}{169}$

Schritt 2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\cos^{2} (x) = \frac{169 - 144}{169}$

Schritt 2.4

Subtrahiere $144$ von $169$ .

$\cos^{2} (x) = \frac{25}{169}$

Schritt 3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (x) = \pm \sqrt{\frac{25}{169}}$

Schritt 4

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{25}{169}}$ .

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Schritt 4.1

Schreibe $\sqrt{\frac{25}{169}}$ als $\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{169}}$ um.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{169}}$

Schritt 4.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{5^{2}}}{\sqrt{169}}$

Schritt 4.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\cos (x) = \pm \frac{5}{\sqrt{169}}$

Schritt 4.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.3.1

Schreibe $169$ als $13^{2}$ um.

$\cos (x) = \pm \frac{5}{\sqrt{13^{2}}}$

Schritt 4.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\cos (x) = \pm \frac{5}{13}$

Schritt 5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$\cos (x) = \frac{5}{13}$

Schritt 5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$\cos (x) = - \frac{5}{13}$

Schritt 5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$\cos (x) = \frac{5}{13}, - \frac{5}{13}$

Schritt 6

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $x$ aufzulösen.

$\cos (x) = \frac{5}{13}$

$\cos (x) = - \frac{5}{13}$

Schritt 7

Löse in $\cos (x) = \frac{5}{13}$ nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (\frac{5}{13})$

Schritt 7.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.1

Berechne $\arccos (\frac{5}{13})$ .

$x = 1.1760052$

Schritt 7.3

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$x = 2 (3.14159265) - 1.1760052$

Schritt 7.4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.4.1

Entferne die Klammern.

$x = 2 (3.14159265) - 1.1760052$

Schritt 7.4.2

Vereinfache $2 (3.14159265) - 1.1760052$ .

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Schritt 7.4.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 1.1760052$

Schritt 7.4.2.2

Subtrahiere $1.1760052$ von $6.2831853$ .

$x = 5.1071801$

Schritt 7.5

Ermittele die Periode von $\cos (x)$ .

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Schritt 7.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 7.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 7.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 7.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 7.6

Die Periode der Funktion $\cos (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 1.1760052 + 2 π n, 5.1071801 + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 8

Löse in $\cos (x) = - \frac{5}{13}$ nach $x$ auf.

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Schritt 8.1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (- \frac{5}{13})$

Schritt 8.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.2.1

Berechne $\arccos (- \frac{5}{13})$ .

$x = 1.96558744$

Schritt 8.3

Die Cosinus-Funktion ist im zweiten und dritten Quadranten negativ. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = 2 (3.14159265) - 1.96558744$

Schritt 8.4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.4.1

Entferne die Klammern.

$x = 2 (3.14159265) - 1.96558744$

Schritt 8.4.2

Vereinfache $2 (3.14159265) - 1.96558744$ .

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Schritt 8.4.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 1.96558744$

Schritt 8.4.2.2

Subtrahiere $1.96558744$ von $6.2831853$ .

$x = 4.31759786$

Schritt 8.5

Ermittele die Periode von $\cos (x)$ .

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Schritt 8.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 8.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 8.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 8.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 8.6

Die Periode der Funktion $\cos (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 1.96558744 + 2 π n, 4.31759786 + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 9

Liste alle Lösungen auf.

$x = 1.1760052 + 2 π n, 5.1071801 + 2 π n, 1.96558744 + 2 π n, 4.31759786 + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 10

Fasse die Lösungen zusammen.

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Schritt 10.1

Führe $1.1760052 + 2 π n$ und $4.31759786 + 2 π n$ zu $1.1760052 + π n$ zusammen.

$x = 1.1760052 + π n, 5.1071801 + 2 π n, 1.96558744 + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 10.2

Führe $5.1071801 + 2 π n$ und $1.96558744 + 2 π n$ zu $1.96558744 + π n$ zusammen.

$x = 1.1760052 + π n, 1.96558744 + π n$ , für jede ganze Zahl $n$