Trigonometrie Beispiele

$z^{4} + 4 \sqrt{2} z^{2} + 16 = 0$

Schritt 1

Setze $u = z^{2}$ in die Gleichung ein. Das macht die Quadratformel leicht anzuwenden.

$u^{2} + 4 \sqrt{2} u + 16 = 0$

$u = z^{2}$

Schritt 2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 4 \sqrt{2}$ und $c = 16$ in die Quadratformel ein und löse nach $u$ auf.

$\frac{- 4 \sqrt{2} \pm \sqrt{{(4 \sqrt{2})}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 16)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Wende die Produktregel auf $4 \sqrt{2}$ an.

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm \sqrt{4^{2} {\sqrt{2}}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.2

Potenziere $4$ mit $2$ .

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm \sqrt{16 {\sqrt{2}}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.3

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 4.1.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm \sqrt{16 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm \sqrt{16 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.3.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm \sqrt{16 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.1.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm \sqrt{16 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm \sqrt{16 \cdot 2 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.3.5

Berechne den Exponenten.

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm \sqrt{16 \cdot 2 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.4

Mutltipliziere $16$ mit $2$ .

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm \sqrt{32 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.5

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 16$ .

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Schritt 4.1.5.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm \sqrt{32 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.5.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $16$ .

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm \sqrt{32 - 64}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.6

Subtrahiere $64$ von $32$ .

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm \sqrt{- 32}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.7

Schreibe $- 32$ als $- 1 (32)$ um.

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm \sqrt{- 1 \cdot 32}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.8

Schreibe $\sqrt{- 1 (32)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{32}$ um.

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{32}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.9

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm i \cdot \sqrt{32}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.10

Schreibe $32$ als $4^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 4.1.10.1

Faktorisiere $16$ aus $32$ heraus.

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm i \cdot \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.10.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.11

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm i \cdot (4 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.12

Bringe $4$ auf die linke Seite von $i$ .

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm 4 i \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$u = \frac{- 4 \sqrt{2} \pm 4 i \sqrt{2}}{2}$

Schritt 4.3

Vereinfache $\frac{- 4 \sqrt{2} \pm 4 i \sqrt{2}}{2}$ .

$u = - 2 \sqrt{2} \pm 2 i \sqrt{2}$

Schritt 5

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$u = - 2 \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2}, - 2 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}$

Schritt 6

Rücksubstituiere den tatsächlichen Wert von $u = z^{2}$ in die gelöste Gleichung.

$z^{2} = - 2 \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2}$

${(z^{2})}^{1} = - 2 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}$

Schritt 7

Löse die erste Gleichung nach $z$ auf.

$z^{2} = - 2 \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2}$

Schritt 8

Löse die Gleichung nach $z$ auf.

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Schritt 8.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$z = \pm \sqrt{- 2 \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2}}$

Schritt 8.2

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 8.2.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$z = \sqrt{- 2 \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2}}$

Schritt 8.2.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$z = - \sqrt{- 2 \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2}}$

Schritt 8.2.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$z = \sqrt{- 2 \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2}}, - \sqrt{- 2 \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2}}$

Schritt 9

Löse die zweite Gleichung nach $z$ auf.

${(z^{2})}^{1} = - 2 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}$

Schritt 10

Löse die Gleichung nach $z$ auf.

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Schritt 10.1

Entferne die Klammern.

$z^{2} = - 2 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}$

Schritt 10.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$z = \pm \sqrt{- 2 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}}$

Schritt 10.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 10.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$z = \sqrt{- 2 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}}$

Schritt 10.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$z = - \sqrt{- 2 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}}$

Schritt 10.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$z = \sqrt{- 2 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}}, - \sqrt{- 2 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}}$

Schritt 11

Die Lösung von $z^{4} + 4 \sqrt{2} z^{2} + 16 = 0$ ist $z = \sqrt{- 2 \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2}}, - \sqrt{- 2 \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2}}, \sqrt{- 2 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}}, - \sqrt{- 2 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}}$ .

$z = \sqrt{- 2 \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2}}, - \sqrt{- 2 \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2}}, \sqrt{- 2 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}}, - \sqrt{- 2 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}}$