Trigonometrie Beispiele

$\sin (x) = \sqrt{1 - \cos^{2} (x)}$

Schritt 1

Da die Wurzel auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass sie sich auf der linken Seite der Gleichung befindet.

$\sqrt{1 - \cos^{2} (x)} = \sin (x)$

Schritt 2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{1 - \cos^{2} (x)}}^{2} = \sin^{2} (x)$

Schritt 3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{1 - \cos^{2} (x)}$ als ${(1 - \cos^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(1 - \cos^{2} (x))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = \sin^{2} (x)$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache ${({(1 - \cos^{2} (x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

${({(\sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = \sin^{2} (x)$

Schritt 3.2.1.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 3.2.1.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(\sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = \sin^{2} (x)$

Schritt 3.2.1.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(\sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = \sin^{2} (x)$

Schritt 3.2.1.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(\sin^{2} (x))}^{1} = \sin^{2} (x)$

Schritt 3.2.1.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(\sin^{2} (x))}^{1}$ .

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Schritt 3.2.1.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${\sin (x)}^{2 \cdot 1} = \sin^{2} (x)$

Schritt 3.2.1.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\sin^{2} (x) = \sin^{2} (x)$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Da die Exponenten gleich sind, müssen die Basen der Exponenten auf beiden Seiten der Gleichung gleich sein.

$| \sin (x) | = | \sin (x) |$

Schritt 4.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Schreibe die Betragsgleichung als vier Gleichungen ohne Absolutwerte.

$\sin (x) = \sin (x)$

$\sin (x) = - \sin (x)$

$- \sin (x) = \sin (x)$

$- \sin (x) = - \sin (x)$

Schritt 4.2.2

Nach dem Vereinfachen gibt es nur zwei eindeutige Gleichungen, die gelöst werden müssen.

$\sin (x) = \sin (x)$

$\sin (x) = - \sin (x)$

Schritt 4.2.3

Löse $\sin (x) = \sin (x)$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.3.1

Damit die zwei Funktionen gleich sind, müssen ihre Argumente gleich sein.

$x = x$

Schritt 4.2.3.2

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.2.3.2.1

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x - x = 0$

Schritt 4.2.3.2.2

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$0 = 0$

Schritt 4.2.3.3

Da $0 = 0$ , ist die Gleichung immer erfüllt.

Alle reellen Zahlen

Schritt 4.2.4

Löse $\sin (x) = - \sin (x)$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.4.1

Bringe alle Terme, die $\sin (x)$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.2.4.1.1

Addiere $\sin (x)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\sin (x) + \sin (x) = 0$

Schritt 4.2.4.1.2

Addiere $\sin (x)$ und $\sin (x)$ .

$2 \sin (x) = 0$

Schritt 4.2.4.2

Teile jeden Ausdruck in $2 \sin (x) = 0$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 \sin (x) = 0$ durch $2$ .

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 4.2.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 4.2.4.2.2.1.2

Dividiere $\sin (x)$ durch $1$ .

$\sin (x) = \frac{0}{2}$

Schritt 4.2.4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.4.2.3.1

Dividiere $0$ durch $2$ .

$\sin (x) = 0$

Schritt 4.2.4.3

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (0)$

Schritt 4.2.4.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.4.4.1

Der genau Wert von $\arcsin (0)$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 4.2.4.5

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$x = π - 0$

Schritt 4.2.4.6

Subtrahiere $0$ von $π$ .

$x = π$

Schritt 4.2.4.7

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 4.2.4.7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 4.2.4.7.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 4.2.4.7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 4.2.4.7.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 4.2.4.8

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 5

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = π n$ , für jede ganze Zahl $n$