Trigonometrie Beispiele

$\sin (x) = \frac{11}{5 \sqrt{5}}$

Schritt 1

Vereinfache $\frac{11}{5 \sqrt{5}}$ .

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Schritt 1.1

Mutltipliziere $\frac{11}{5 \sqrt{5}}$ mit $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\sin (x) = \frac{11}{5 \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Schritt 1.2

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.2.1

Mutltipliziere $\frac{11}{5 \sqrt{5}}$ mit $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\sin (x) = \frac{11 \sqrt{5}}{5 \sqrt{5} \sqrt{5}}$

Schritt 1.2.2

Bewege $\sqrt{5}$ .

$\sin (x) = \frac{11 \sqrt{5}}{5 (\sqrt{5} \sqrt{5})}$

Schritt 1.2.3

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$\sin (x) = \frac{11 \sqrt{5}}{5 ({\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5})}$

Schritt 1.2.4

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$\sin (x) = \frac{11 \sqrt{5}}{5 ({\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1})}$

Schritt 1.2.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sin (x) = \frac{11 \sqrt{5}}{5 {\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Schritt 1.2.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\sin (x) = \frac{11 \sqrt{5}}{5 {\sqrt{5}}^{2}}$

Schritt 1.2.7

Schreibe ${\sqrt{5}}^{2}$ als $5$ um.

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Schritt 1.2.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sin (x) = \frac{11 \sqrt{5}}{5 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 1.2.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (x) = \frac{11 \sqrt{5}}{5 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 1.2.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sin (x) = \frac{11 \sqrt{5}}{5 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 1.2.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (x) = \frac{11 \sqrt{5}}{5 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 1.2.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sin (x) = \frac{11 \sqrt{5}}{5 \cdot 5^{1}}$

Schritt 1.2.7.5

Berechne den Exponenten.

$\sin (x) = \frac{11 \sqrt{5}}{5 \cdot 5}$

Schritt 1.3

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$\sin (x) = \frac{11 \sqrt{5}}{25}$

Schritt 2

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (\frac{11 \sqrt{5}}{25})$

Schritt 3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.1

Berechne $\arcsin (\frac{11 \sqrt{5}}{25})$ .

$x = 1.39094282$

Schritt 4

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$x = (3.14159265) - 1.39094282$

Schritt 5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Entferne die Klammern.

$x = 3.14159265 - 1.39094282$

Schritt 5.2

Entferne die Klammern.

$x = (3.14159265) - 1.39094282$

Schritt 5.3

Subtrahiere $1.39094282$ von $3.14159265$ .

$x = 1.75064982$

Schritt 6

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 6.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 6.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 7

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 1.39094282 + 2 π n, 1.75064982 + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$