Trigonometrie Beispiele

$\sec (2 x) = (\frac{\sec^{2} (x)}{2 - \sec^{2} (x)})$

Schritt 1

Multipliziere beide Seiten mit $2 - \sec^{2} (x)$ .

$\sec (2 x) (2 - \sec^{2} (x)) = \frac{\sec^{2} (x)}{2 - \sec^{2} (x)} (2 - \sec^{2} (x))$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.1.1

Vereinfache $\sec (2 x) (2 - \sec^{2} (x))$ .

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Schritt 2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\sec (2 x) \cdot 2 + \sec (2 x) (- \sec^{2} (x)) = \frac{\sec^{2} (x)}{2 - \sec^{2} (x)} (2 - \sec^{2} (x))$

Schritt 2.1.1.2

Stelle um.

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Schritt 2.1.1.2.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\sec (2 x)$ .

$2 \cdot \sec (2 x) + \sec (2 x) (- \sec^{2} (x)) = \frac{\sec^{2} (x)}{2 - \sec^{2} (x)} (2 - \sec^{2} (x))$

Schritt 2.1.1.2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 \sec (2 x) - \sec (2 x) \sec^{2} (x) = \frac{\sec^{2} (x)}{2 - \sec^{2} (x)} (2 - \sec^{2} (x))$

Schritt 2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 - \sec^{2} (x)$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \sec (2 x) - \sec (2 x) \sec^{2} (x) = \frac{\sec^{2} (x)}{2 - \sec^{2} (x)} (2 - \sec^{2} (x))$

Schritt 2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$2 \sec (2 x) - \sec (2 x) \sec^{2} (x) = \sec^{2} (x)$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1.1

Schreibe $\sec (2 x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$2 \frac{1}{\cos (2 x)} - \sec (2 x) \sec^{2} (x) = \sec^{2} (x)$

Schritt 3.1.1.2

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{\cos (2 x)}$ .

$\frac{2}{\cos (2 x)} - \sec (2 x) \sec^{2} (x) = \sec^{2} (x)$

Schritt 3.1.1.3

Schreibe $\sec (2 x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{2}{\cos (2 x)} - \frac{1}{\cos (2 x)} \sec^{2} (x) = \sec^{2} (x)$

Schritt 3.1.1.4

Schreibe $\sec (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{2}{\cos (2 x)} - \frac{1}{\cos (2 x)} {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} = \sec^{2} (x)$

Schritt 3.1.1.5

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\cos (x)}$ an.

$\frac{2}{\cos (2 x)} - \frac{1}{\cos (2 x)} \cdot \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} = \sec^{2} (x)$

Schritt 3.1.1.6

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{2}{\cos (2 x)} - \frac{1}{\cos (2 x)} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (x)} = \sec^{2} (x)$

Schritt 3.1.1.7

Mutltipliziere $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ mit $\frac{1}{\cos (2 x)}$ .

$\frac{2}{\cos (2 x)} - \frac{1}{\cos^{2} (x) \cos (2 x)} = \sec^{2} (x)$

Schritt 3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache $\sec^{2} (x)$ .

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Schritt 3.2.1.1

Schreibe $\sec (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{2}{\cos (2 x)} - \frac{1}{\cos^{2} (x) \cos (2 x)} = {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

Schritt 3.2.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\cos (x)}$ an.

$\frac{2}{\cos (2 x)} - \frac{1}{\cos^{2} (x) \cos (2 x)} = \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 3.2.1.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{2}{\cos (2 x)} - \frac{1}{\cos^{2} (x) \cos (2 x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 3.3

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\cos (2 x)$ .

$\cos (2 x) (\frac{2}{\cos (2 x)} - \frac{1}{\cos^{2} (x) \cos (2 x)}) = \cos (2 x) \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 3.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\cos (2 x) \frac{2}{\cos (2 x)} + \cos (2 x) (- \frac{1}{\cos^{2} (x) \cos (2 x)}) = \cos (2 x) \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (2 x)$ .

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Schritt 3.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cos (2 x) \frac{2}{\cos (2 x)} + \cos (2 x) (- \frac{1}{\cos^{2} (x) \cos (2 x)}) = \cos (2 x) \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 3.5.2

Forme den Ausdruck um.

$2 + \cos (2 x) (- \frac{1}{\cos^{2} (x) \cos (2 x)}) = \cos (2 x) \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 3.6

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 - \cos (2 x) \frac{1}{\cos^{2} (x) \cos (2 x)} = \cos (2 x) \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 3.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (2 x)$ .

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Schritt 3.7.1

Faktorisiere $\cos (2 x)$ aus $- \cos (2 x)$ heraus.

$2 + \cos (2 x) \cdot - 1 \frac{1}{\cos^{2} (x) \cos (2 x)} = \cos (2 x) \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 3.7.2

Faktorisiere $\cos (2 x)$ aus $\cos^{2} (x) \cos (2 x)$ heraus.

$2 + \cos (2 x) \cdot - 1 \frac{1}{\cos (2 x) \cos^{2} (x)} = \cos (2 x) \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 3.7.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 + \cos (2 x) \cdot - 1 \frac{1}{\cos (2 x) \cos^{2} (x)} = \cos (2 x) \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 3.7.4

Forme den Ausdruck um.

$2 - \frac{1}{\cos^{2} (x)} = \cos (2 x) \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 3.8

Kombiniere $\cos (2 x)$ und $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ .

$2 - \frac{1}{\cos^{2} (x)} = \frac{\cos (2 x)}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 3.9

Multipliziere beide Seiten mit $\cos^{2} (x)$ .

$- \frac{1}{\cos^{2} (x)} \cos^{2} (x) = (\sec^{2} (x) \cos (2 x) - 2) \cos^{2} (x)$

Schritt 3.10

Vereinfache.

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Schritt 3.10.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.10.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos^{2} (x)$ .

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Schritt 3.10.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{\cos^{2} (x)}$ in den Zähler.

$\frac{- 1}{\cos^{2} (x)} \cos^{2} (x) = (\sec^{2} (x) \cos (2 x) - 2) \cos^{2} (x)$

Schritt 3.10.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1}{\cos^{2} (x)} \cos^{2} (x) = (\sec^{2} (x) \cos (2 x) - 2) \cos^{2} (x)$

Schritt 3.10.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$- 1 = (\sec^{2} (x) \cos (2 x) - 2) \cos^{2} (x)$

Schritt 3.10.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.10.2.1

Vereinfache $(\sec^{2} (x) \cos (2 x) - 2) \cos^{2} (x)$ .

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Schritt 3.10.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.10.2.1.1.1

Schreibe $\sec (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$- 1 = ({(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \cos (2 x) - 2) \cos^{2} (x)$

Schritt 3.10.2.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\cos (x)}$ an.

$- 1 = (\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \cos (2 x) - 2) \cos^{2} (x)$

Schritt 3.10.2.1.1.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- 1 = (\frac{1}{\cos^{2} (x)} \cos (2 x) - 2) \cos^{2} (x)$

Schritt 3.10.2.1.1.4

Kombiniere $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ und $\cos (2 x)$ .

$- 1 = (\frac{\cos (2 x)}{\cos^{2} (x)} - 2) \cos^{2} (x)$

Schritt 3.10.2.1.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.10.2.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 1 = \frac{\cos (2 x)}{\cos^{2} (x)} \cos^{2} (x) - 2 \cos^{2} (x)$

Schritt 3.10.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos^{2} (x)$ .

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Schritt 3.10.2.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 1 = \frac{\cos (2 x)}{\cos^{2} (x)} \cos^{2} (x) - 2 \cos^{2} (x)$

Schritt 3.10.2.1.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$- 1 = \cos (2 x) - 2 \cos^{2} (x)$

Schritt 3.11

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.11.1

Schreibe die Gleichung als $\cos (2 x) - 2 \cos^{2} (x) = - 1$ um.

$\cos (2 x) - 2 \cos^{2} (x) = - 1$

Schritt 3.11.2

Wende die Doppelwinkelfunktion an, um $\cos (2 x)$ nach $1 - 2 \sin^{2} (x)$ zu transformieren.

$1 - 2 \sin^{2} (x) - 2 \cos^{2} (x) = - 1$

Schritt 3.11.3

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 \sin^{2} (x) - 2 \cos^{2} (x) = - 1 - 1$

Schritt 3.11.4

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.11.4.1

Vereinfache $- 2 \sin^{2} (x) - 2 \cos^{2} (x)$ .

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Schritt 3.11.4.1.1

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 3.11.4.1.1.1

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2 \sin^{2} (x)$ heraus.

$- 2 (\sin^{2} (x)) - 2 \cos^{2} (x) = - 1 - 1$

Schritt 3.11.4.1.1.2

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2 \cos^{2} (x)$ heraus.

$- 2 (\sin^{2} (x)) - 2 (\cos^{2} (x)) = - 1 - 1$

Schritt 3.11.4.1.1.3

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2 (\sin^{2} (x)) - 2 (\cos^{2} (x))$ heraus.

$- 2 (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) = - 1 - 1$

Schritt 3.11.4.1.2

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$- 2 \cdot 1 = - 1 - 1$

Schritt 3.11.4.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$- 2 = - 1 - 1$

Schritt 3.11.5

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.11.5.1

Subtrahiere $1$ von $- 1$ .

$- 2 = - 2$

Schritt 3.11.6

Da $- 2 = - 2$ , wird die Gleichung immer erfüllt sein für jeden Wert von $x$ .

Alle reellen Zahlen

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Alle reellen Zahlen

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$