Trigonometrie Beispiele

$\sec (x) + \tan (x) = \frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)}$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1

Schreibe $\sec (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{1}{\cos (x)} + \tan (x) = \frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)}$

Schritt 1.1.2

Schreibe $\tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)}$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\cos (x)$ .

$\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) = \cos (x) \frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)}$

Schritt 3

Wende das Distributivgesetz an.

$\cos (x) \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \cos (x) \frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)}$

Schritt 4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x)$ .

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Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cos (x) \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \cos (x) \frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)}$

Schritt 4.2

Forme den Ausdruck um.

$1 + \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \cos (x) \frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)}$

Schritt 5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x)$ .

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Schritt 5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 + \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \cos (x) \frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)}$

Schritt 5.2

Forme den Ausdruck um.

$1 + \sin (x) = \cos (x) \frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)}$

Schritt 6

Multipliziere $\cos (x) \frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)}$ .

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Schritt 6.1

Kombiniere $\cos (x)$ und $\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)}$ .

$1 + \sin (x) = \frac{\cos (x) \cos (x)}{1 - \sin (x)}$

Schritt 6.2

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$1 + \sin (x) = \frac{\cos^{1} (x) \cos (x)}{1 - \sin (x)}$

Schritt 6.3

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$1 + \sin (x) = \frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{1 - \sin (x)}$

Schritt 6.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$1 + \sin (x) = \frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{1 - \sin (x)}$

Schritt 6.5

Addiere $1$ und $1$ .

$1 + \sin (x) = \frac{\cos^{2} (x)}{1 - \sin (x)}$

Schritt 7

Subtrahiere $\frac{\cos^{2} (x)}{1 - \sin (x)}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$1 + \sin (x) - \frac{\cos^{2} (x)}{1 - \sin (x)} = 0$

Schritt 8

Vereinfache $1 + \sin (x) - \frac{\cos^{2} (x)}{1 - \sin (x)}$ .

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Schritt 8.1

Um $\sin (x)$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{1 - \sin (x)}{1 - \sin (x)}$ .

$1 + \frac{\sin (x) (1 - \sin (x))}{1 - \sin (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{1 - \sin (x)} = 0$

Schritt 8.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$1 + \frac{\sin (x) (1 - \sin (x)) - \cos^{2} (x)}{1 - \sin (x)} = 0$

Schritt 8.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.3.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$1 + \frac{\sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x)}{1 - \sin (x)} = 0$

Schritt 8.3.1.2

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$1 + \frac{\sin (x) + \sin (x) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x)}{1 - \sin (x)} = 0$

Schritt 8.3.1.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$1 + \frac{\sin (x) - \sin (x) \sin (x) - \cos^{2} (x)}{1 - \sin (x)} = 0$

Schritt 8.3.1.4

Multipliziere $- \sin (x) \sin (x)$ .

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Schritt 8.3.1.4.1

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$1 + \frac{\sin (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x)) - \cos^{2} (x)}{1 - \sin (x)} = 0$

Schritt 8.3.1.4.2

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$1 + \frac{\sin (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) - \cos^{2} (x)}{1 - \sin (x)} = 0$

Schritt 8.3.1.4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$1 + \frac{\sin (x) - {\sin (x)}^{1 + 1} - \cos^{2} (x)}{1 - \sin (x)} = 0$

Schritt 8.3.1.4.4

Addiere $1$ und $1$ .

$1 + \frac{\sin (x) - \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)}{1 - \sin (x)} = 0$

Schritt 8.3.1.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sin^{2} (x)$ heraus.

$1 + \frac{\sin (x) - (\sin^{2} (x)) - \cos^{2} (x)}{1 - \sin (x)} = 0$

Schritt 8.3.1.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- \cos^{2} (x)$ heraus.

$1 + \frac{\sin (x) - (\sin^{2} (x)) - (\cos^{2} (x))}{1 - \sin (x)} = 0$

Schritt 8.3.1.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- (\sin^{2} (x)) - (\cos^{2} (x))$ heraus.

$1 + \frac{\sin (x) - (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))}{1 - \sin (x)} = 0$

Schritt 8.3.1.8

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$1 + \frac{\sin (x) - 1 \cdot 1}{1 - \sin (x)} = 0$

Schritt 8.3.1.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$1 + \frac{\sin (x) - 1}{1 - \sin (x)} = 0$

Schritt 8.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $\sin (x) - 1$ und $1 - \sin (x)$ .

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Schritt 8.3.2.1

Faktorisiere $- 1$ aus $\sin (x)$ heraus.

$1 + \frac{- 1 (- \sin (x)) - 1}{1 - \sin (x)} = 0$

Schritt 8.3.2.2

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$1 + \frac{- 1 (- \sin (x)) - 1 (1)}{1 - \sin (x)} = 0$

Schritt 8.3.2.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (- \sin (x)) - 1 (1)$ heraus.

$1 + \frac{- 1 (- \sin (x) + 1)}{1 - \sin (x)} = 0$

Schritt 8.3.2.4

Stelle die Terme um.

$1 + \frac{- 1 (1 - \sin (x))}{1 - \sin (x)} = 0$

Schritt 8.3.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 + \frac{- 1 (1 - \sin (x))}{1 - \sin (x)} = 0$

Schritt 8.3.2.6

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$1 - 1 = 0$

Schritt 8.4

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$0 = 0$

Schritt 9

Da $0 = 0$ , wird die Gleichung immer erfüllt sein für jeden Wert von $x$ .

Alle reellen Zahlen

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Alle reellen Zahlen

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$