Trigonometrie Beispiele

$\tan (x) = \frac{\sin (x)}{\sqrt{1 - \sin^{2} (x)}}$

Schritt 1

Da die Wurzel auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass sie sich auf der linken Seite der Gleichung befindet.

$\frac{\sin (x)}{\sqrt{1 - \sin^{2} (x)}} = \tan (x)$

Schritt 2

Multipliziere über Kreuz.

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Schritt 2.1

Multipliziere über Kreuz, indem du das Produkt aus dem Zähler der rechten Seite und dem Nenner der linken Seite gleich dem Produkt aus dem Zähler der linken Seite und dem Nenner der rechten Seite setzt.

$\tan (x) \cdot (\sqrt{1 - \sin^{2} (x)}) = \sin (x)$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache $\tan (x) \cdot (\sqrt{1 - \sin^{2} (x)})$ .

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Schritt 2.2.1.1

Schreibe $\tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \sqrt{1 - \sin^{2} (x)} = \sin (x)$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \sqrt{1^{2} - \sin^{2} (x)} = \sin (x)$

Schritt 2.2.1.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = \sin (x)$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \sqrt{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))} = \sin (x)$

Schritt 2.2.1.4

Kombiniere $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ und $\sqrt{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$ .

$\frac{\sin (x) \sqrt{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}}{\cos (x)} = \sin (x)$

Schritt 2.2.1.5

Separiere Brüche.

$\frac{\sqrt{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \sin (x)$

Schritt 2.2.1.6

Wandle von $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ nach $\tan (x)$ um.

$\frac{\sqrt{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}}{1} \tan (x) = \sin (x)$

Schritt 2.2.1.7

Dividiere $\sqrt{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$ durch $1$ .

$\sqrt{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))} \tan (x) = \sin (x)$

Schritt 3

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(\sqrt{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Schritt 4

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$ als ${((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)))}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache ${({((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2}$ .

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Schritt 4.2.1.1

Multipliziere $(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

${({(1 (1 - \sin (x)) + \sin (x) (1 - \sin (x)))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Schritt 4.2.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

${({(1 \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) + \sin (x) (1 - \sin (x)))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Schritt 4.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

${({(1 \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x)))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Schritt 4.2.1.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.2.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.2.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

${({(1 + 1 (- \sin (x)) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x)))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Schritt 4.2.1.2.1.2

Mutltipliziere $- \sin (x)$ mit $1$ .

${({(1 - \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x)))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Schritt 4.2.1.2.1.3

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $1$ .

${({(1 - \sin (x) + \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x)))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Schritt 4.2.1.2.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

${({(1 - \sin (x) + \sin (x) - \sin (x) \sin (x))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Schritt 4.2.1.2.1.5

Multipliziere $- \sin (x) \sin (x)$ .

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Schritt 4.2.1.2.1.5.1

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

${({(1 - \sin (x) + \sin (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x)))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Schritt 4.2.1.2.1.5.2

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

${({(1 - \sin (x) + \sin (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Schritt 4.2.1.2.1.5.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${({(1 - \sin (x) + \sin (x) - {\sin (x)}^{1 + 1})}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Schritt 4.2.1.2.1.5.4

Addiere $1$ und $1$ .

${({(1 - \sin (x) + \sin (x) - \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Schritt 4.2.1.2.2

Addiere $- \sin (x)$ und $\sin (x)$ .

${({(1 + 0 - \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Schritt 4.2.1.2.3

Addiere $1$ und $0$ .

${({(1 - \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Schritt 4.2.1.3

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

${({(\cos^{2} (x))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Schritt 4.2.1.4

Multipliziere die Exponenten in ${(\cos^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 4.2.1.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${({\cos (x)}^{2 (\frac{1}{2})} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Schritt 4.2.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.1.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${({\cos (x)}^{2 (\frac{1}{2})} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Schritt 4.2.1.4.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(\cos^{1} (x) \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Schritt 4.2.1.5

Vereinfache.

${(\cos (x) \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Schritt 4.2.1.6

Schreibe mithilfe von Sinus und Kosinus um, kürze dann die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.1.6.1

Stelle $\cos (x)$ und $\tan (x)$ um.

${(\tan (x) \cos (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Schritt 4.2.1.6.2

Schreibe $\cos (x) \tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

${(\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

Schritt 4.2.1.6.3

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

$\sin^{2} (x) = \sin^{2} (x)$

Schritt 5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Da die Exponenten gleich sind, müssen die Basen der Exponenten auf beiden Seiten der Gleichung gleich sein.

$| \sin (x) | = | \sin (x) |$

Schritt 5.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.1

Schreibe die Betragsgleichung als vier Gleichungen ohne Absolutwerte.

$\sin (x) = \sin (x)$

$\sin (x) = - \sin (x)$

$- \sin (x) = \sin (x)$

$- \sin (x) = - \sin (x)$

Schritt 5.2.2

Nach dem Vereinfachen gibt es nur zwei eindeutige Gleichungen, die gelöst werden müssen.

$\sin (x) = \sin (x)$

$\sin (x) = - \sin (x)$

Schritt 5.2.3

Löse $\sin (x) = \sin (x)$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.3.1

Damit die zwei Funktionen gleich sind, müssen ihre Argumente gleich sein.

$x = x$

Schritt 5.2.3.2

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 5.2.3.2.1

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x - x = 0$

Schritt 5.2.3.2.2

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$0 = 0$

Schritt 5.2.3.3

Da $0 = 0$ , ist die Gleichung immer erfüllt.

Alle reellen Zahlen

Schritt 5.2.4

Löse $\sin (x) = - \sin (x)$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.4.1

Bringe alle Terme, die $\sin (x)$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 5.2.4.1.1

Addiere $\sin (x)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\sin (x) + \sin (x) = 0$

Schritt 5.2.4.1.2

Addiere $\sin (x)$ und $\sin (x)$ .

$2 \sin (x) = 0$

Schritt 5.2.4.2

Teile jeden Ausdruck in $2 \sin (x) = 0$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 \sin (x) = 0$ durch $2$ .

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 5.2.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 5.2.4.2.2.1.2

Dividiere $\sin (x)$ durch $1$ .

$\sin (x) = \frac{0}{2}$

Schritt 5.2.4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.4.2.3.1

Dividiere $0$ durch $2$ .

$\sin (x) = 0$

Schritt 5.2.4.3

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (0)$

Schritt 5.2.4.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.4.4.1

Der genau Wert von $\arcsin (0)$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 5.2.4.5

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$x = π - 0$

Schritt 5.2.4.6

Subtrahiere $0$ von $π$ .

$x = π$

Schritt 5.2.4.7

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 5.2.4.7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 5.2.4.7.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 5.2.4.7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 5.2.4.7.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 5.2.4.8

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 6

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = π n$ , für jede Ganzzahl $n$