Trigonometrie Beispiele

$\sin (2 x) = 2 \sqrt{3} \cos^{2} (x)$

Schritt 1

Subtrahiere $2 \sqrt{3} \cos^{2} (x)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\sin (2 x) - 2 \sqrt{3} \cos^{2} (x) = 0$

Schritt 2

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Sinus an.

$2 \sin (x) \cos (x) - 2 \sqrt{3} \cos^{2} (x) = 0$

Schritt 3

Faktorisiere $2 \cos (x)$ aus $2 \sin (x) \cos (x) - 2 \sqrt{3} \cos^{2} (x)$ heraus.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $2 \cos (x)$ aus $2 \sin (x) \cos (x)$ heraus.

$2 \cos (x) \sin (x) - 2 \sqrt{3} \cos^{2} (x) = 0$

Schritt 3.2

Faktorisiere $2 \cos (x)$ aus $- 2 \sqrt{3} \cos^{2} (x)$ heraus.

$2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cos (x) (- \sqrt{3} \cos (x)) = 0$

Schritt 3.3

Faktorisiere $2 \cos (x)$ aus $2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cos (x) (- \sqrt{3} \cos (x))$ heraus.

$2 \cos (x) (\sin (x) - \sqrt{3} \cos (x)) = 0$

Schritt 4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$\cos (x) = 0$

$\sin (x) - \sqrt{3} \cos (x) = 0$

Schritt 5

Setze $\cos (x)$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $\cos (x)$ gleich $0$ .

$\cos (x) = 0$

Schritt 5.2

Löse $\cos (x) = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (0)$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Der genau Wert von $\arccos (0)$ ist $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Schritt 5.2.3

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Schritt 5.2.4

Vereinfache $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Schritt 5.2.4.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 5.2.4.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 5.2.4.2.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 5.2.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 5.2.4.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.4.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Schritt 5.2.4.3.2

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Schritt 5.2.5

Ermittele die Periode von $\cos (x)$ .

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Schritt 5.2.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 5.2.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 5.2.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 5.2.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 5.2.6

Die Periode der Funktion $\cos (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 6

Setze $\sin (x) - \sqrt{3} \cos (x)$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $\sin (x) - \sqrt{3} \cos (x)$ gleich $0$ .

$\sin (x) - \sqrt{3} \cos (x) = 0$

Schritt 6.2

Löse $\sin (x) - \sqrt{3} \cos (x) = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.1

Teile jeden Term in der Gleichung durch $\cos (x)$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sqrt{3} \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 6.2.2

Wandle von $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ nach $\tan (x)$ um.

$\tan (x) + \frac{- \sqrt{3} \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 6.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x)$ .

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Schritt 6.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\tan (x) + \frac{- \sqrt{3} \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 6.2.3.2

Dividiere $- \sqrt{3}$ durch $1$ .

$\tan (x) - \sqrt{3} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 6.2.4

Separiere Brüche.

$\tan (x) - \sqrt{3} = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Schritt 6.2.5

Wandle von $\frac{1}{\cos (x)}$ nach $\sec (x)$ um.

$\tan (x) - \sqrt{3} = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Schritt 6.2.6

Dividiere $0$ durch $1$ .

$\tan (x) - \sqrt{3} = 0 \sec (x)$

Schritt 6.2.7

Mutltipliziere $0$ mit $\sec (x)$ .

$\tan (x) - \sqrt{3} = 0$

Schritt 6.2.8

Addiere $\sqrt{3}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\tan (x) = \sqrt{3}$

Schritt 6.2.9

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$x = \arctan (\sqrt{3})$

Schritt 6.2.10

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.10.1

Der genau Wert von $\arctan (\sqrt{3})$ ist $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Schritt 6.2.11

Die Tangensfunktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu finden, addiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu ermitteln.

$x = π + \frac{π}{3}$

Schritt 6.2.12

Vereinfache $π + \frac{π}{3}$ .

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Schritt 6.2.12.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$x = π \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3}$

Schritt 6.2.12.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 6.2.12.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{π \cdot 3}{3} + \frac{π}{3}$

Schritt 6.2.12.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{π \cdot 3 + π}{3}$

Schritt 6.2.12.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.12.3.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von $π$ .

$x = \frac{3 \cdot π + π}{3}$

Schritt 6.2.12.3.2

Addiere $3 π$ und $π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Schritt 6.2.13

Ermittele die Periode von $\tan (x)$ .

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Schritt 6.2.13.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 6.2.13.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 6.2.13.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 6.2.13.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 6.2.14

Die Periode der Funktion $\tan (x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $2 \cos (x) (\sin (x) - \sqrt{3} \cos (x)) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 8

Fasse die Ergebnisse zusammen.

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Schritt 8.1

Führe $\frac{π}{2} + 2 π n$ und $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ zu $\frac{π}{2} + π n$ zusammen.

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 8.2

Führe $\frac{π}{3} + π n$ und $\frac{4 π}{3} + π n$ zu $\frac{π}{3} + π n$ zusammen.

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{π}{3} + π n$ , für jede Ganzzahl $n$