Trigonometrie Beispiele

$\sin (2 x) = \frac{5 π}{4}$

Schritt 1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$2 x = \arcsin (\frac{5 π}{4})$

Schritt 2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \arcsin (\frac{5 π}{4})$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \arcsin (\frac{5 π}{4})$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\arcsin (\frac{5 π}{4})}{2}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\arcsin (\frac{5 π}{4})}{2}$

Schritt 2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\arcsin (\frac{5 π}{4})}{2}$

Schritt 3

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$2 x = π - \arcsin (\frac{5 π}{4})$

Schritt 4

Teile jeden Ausdruck in $2 x = π - \arcsin (\frac{5 π}{4})$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 4.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = π - \arcsin (\frac{5 π}{4})$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2} + \frac{- \arcsin (\frac{5 π}{4})}{2}$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2} + \frac{- \arcsin (\frac{5 π}{4})}{2}$

Schritt 4.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{π}{2} + \frac{- \arcsin (\frac{5 π}{4})}{2}$

Schritt 4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = \frac{π}{2} - \frac{\arcsin (\frac{5 π}{4})}{2}$

Schritt 5

Ermittele die Periode von $\sin (2 x)$ .

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Schritt 5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 5.2

Ersetze $b$ durch $2$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Schritt 5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $2$ ist $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Schritt 5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 π}{2}$

Schritt 5.4.2

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 6

Die Periode der Funktion $\sin (2 x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{\arcsin (\frac{5 π}{4})}{2} + π n, \frac{π}{2} - \frac{\arcsin (\frac{5 π}{4})}{2} + π n$ , für jede Ganzzahl $n$