Trigonometrie Beispiele

$(\frac{1}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2})$

Schritt 1

Um den $\csc (θ)$ zwischen der x-Achse und der Geraden zwischen den Punkten $(0, 0)$ und $(\frac{1}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2})$ zu ermitteln, zeichne das Dreieck zwischen den drei Punkten $(0, 0)$ , $(\frac{1}{2}, 0)$ und $(\frac{1}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2})$ .

Gegenüberliegend : $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

Ankathete : $\frac{1}{2}$

Schritt 2

Berechne die Hypotenuse unter Anwendung des Satzes von Pythagoras $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

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Schritt 2.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$\sqrt{\frac{1^{2}}{2^{2}} + {(- \frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}}$

Schritt 2.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\sqrt{\frac{1}{2^{2}} + {(- \frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}}$

Schritt 2.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} + {(- \frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}}$

Schritt 2.4

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 2.4.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ an.

$\sqrt{\frac{1}{4} + {(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}}$

Schritt 2.4.2

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{3}}{2}$ an.

$\sqrt{\frac{1}{4} + {(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}}$

Schritt 2.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.5.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} + 1 \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}}$

Schritt 2.5.2

Mutltipliziere $\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}$ mit $1$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}}$

Schritt 2.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 2.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

Schritt 2.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

Schritt 2.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Schritt 2.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Schritt 2.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3^{1}}{2^{2}}}$

Schritt 2.6.5

Berechne den Exponenten.

$\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{2^{2}}}$

Schritt 2.7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.7.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}}$

Schritt 2.7.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{1 + 3}{4}}$

Schritt 2.7.3

Addiere $1$ und $3$ .

$\sqrt{\frac{4}{4}}$

Schritt 2.7.4

Dividiere $4$ durch $4$ .

$\sqrt{1}$

Schritt 2.7.5

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$1$

Schritt 3

Aus $\csc (θ) = \frac{Hypotenuse}{Gegenüberliegend}$ folgt $\csc (θ) = \frac{1}{- \frac{\sqrt{3}}{2}}$ .

$\frac{1}{- \frac{\sqrt{3}}{2}}$

Schritt 4

Vereinfache $\csc (θ)$ .

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Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1$ und $- 1$ .

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Schritt 4.1.1

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\csc (θ) = \frac{- 1 \cdot - 1}{- \frac{\sqrt{3}}{2}}$

Schritt 4.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\csc (θ) = - \frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$

Schritt 4.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\csc (θ) = - (1 (\frac{2}{\sqrt{3}}))$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{3}}$ mit $1$ .

$\csc (θ) = - \frac{2}{\sqrt{3}}$

Schritt 4.4

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\csc (θ) = - (\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Schritt 4.5

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.5.1

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\csc (θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 4.5.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\csc (θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 4.5.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\csc (θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 4.5.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\csc (θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Schritt 4.5.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\csc (θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 4.5.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 4.5.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\csc (θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.5.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\csc (θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.5.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\csc (θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.5.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.5.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\csc (θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.5.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\csc (θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 4.5.6.5

Berechne den Exponenten.

$\csc (θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 5

Approximiere das Ergebnis.

$\csc (θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3} \approx - 1.15470053$