Trigonometrie Beispiele

$\sin (\frac{a}{2}) = - \sqrt{\frac{1 - \cos (a)}{2}}$

Schritt 1

Da die Wurzel auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass sie sich auf der linken Seite der Gleichung befindet.

$- \sqrt{\frac{1 - \cos (a)}{2}} = \sin (\frac{a}{2})$

Schritt 2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(- \sqrt{\frac{1 - \cos (a)}{2}})}^{2} = \sin^{2} (\frac{a}{2})$

Schritt 3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{\frac{1 - \cos (a)}{2}}$ als ${(\frac{1 - \cos (a)}{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(- {(\frac{1 - \cos (a)}{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = \sin^{2} (\frac{a}{2})$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache ${(- {(\frac{1 - \cos (a)}{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1 - \cos (a)}{2}$ an.

${(- \frac{{(1 - \cos (a))}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}})}^{2} = \sin^{2} (\frac{a}{2})$

Schritt 3.2.1.2

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 3.2.1.2.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{{(1 - \cos (a))}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}}$ an.

${(- 1)}^{2} {(\frac{{(1 - \cos (a))}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}})}^{2} = \sin^{2} (\frac{a}{2})$

Schritt 3.2.1.2.2

Wende die Produktregel auf $\frac{{(1 - \cos (a))}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}}$ an.

${(- 1)}^{2} \frac{{({(1 - \cos (a))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} = \sin^{2} (\frac{a}{2})$

Schritt 3.2.1.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.1.3.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$1 \frac{{({(1 - \cos (a))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} = \sin^{2} (\frac{a}{2})$

Schritt 3.2.1.3.2

Mutltipliziere $\frac{{({(1 - \cos (a))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$ mit $1$ .

$\frac{{({(1 - \cos (a))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} = \sin^{2} (\frac{a}{2})$

Schritt 3.2.1.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.1.4.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(1 - \cos (a))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.4.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(1 - \cos (a))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} = \sin^{2} (\frac{a}{2})$

Schritt 3.2.1.4.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.4.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{{(1 - \cos (a))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} = \sin^{2} (\frac{a}{2})$

Schritt 3.2.1.4.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{{(1 - \cos (a))}^{1}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} = \sin^{2} (\frac{a}{2})$

Schritt 3.2.1.4.2

Vereinfache.

$\frac{1 - \cos (a)}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} = \sin^{2} (\frac{a}{2})$

Schritt 3.2.1.5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.2.1.5.1

Multipliziere die Exponenten in ${(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.5.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1 - \cos (a)}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} = \sin^{2} (\frac{a}{2})$

Schritt 3.2.1.5.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.5.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 - \cos (a)}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} = \sin^{2} (\frac{a}{2})$

Schritt 3.2.1.5.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1 - \cos (a)}{2^{1}} = \sin^{2} (\frac{a}{2})$

Schritt 3.2.1.5.2

Berechne den Exponenten.

$\frac{1 - \cos (a)}{2} = \sin^{2} (\frac{a}{2})$

Schritt 4

Löse nach $a$ auf.

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Schritt 4.1

Subtrahiere $\sin^{2} (\frac{a}{2})$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{1 - \cos (a)}{2} - \sin^{2} (\frac{a}{2}) = 0$

Schritt 4.2

Vereinfache $\frac{1 - \cos (a)}{2} - \sin^{2} (\frac{a}{2})$ .

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Schritt 4.2.1

Um $- \sin^{2} (\frac{a}{2})$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1 - \cos (a)}{2} - \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cdot \frac{2}{2} = 0$

Schritt 4.2.2

Kombiniere $- \sin^{2} (\frac{a}{2})$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1 - \cos (a)}{2} + \frac{- \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cdot 2}{2} = 0$

Schritt 4.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1 - \cos (a) - \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cdot 2}{2} = 0$

Schritt 4.2.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{1 - \cos (a) - 2 \sin^{2} (\frac{a}{2})}{2} = 0$

Schritt 4.2.4.2

Bewege $- 2 \sin^{2} (\frac{a}{2})$ .

$\frac{1 - 2 \sin^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a)}{2} = 0$

Schritt 4.2.4.3

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Kosinus an.

$\frac{\cos (2 \frac{a}{2}) - \cos (a)}{2} = 0$

Schritt 4.2.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\cos (2 \frac{a}{2}) - \cos (a)}{2} = 0$

Schritt 4.2.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\cos (a) - \cos (a)}{2} = 0$

Schritt 4.2.4.5

Subtrahiere $\cos (a)$ von $\cos (a)$ .

$\frac{0}{2} = 0$

Schritt 4.2.5

Dividiere $0$ durch $2$ .

$0 = 0$

Schritt 4.3

Da $0 = 0$ , wird die Gleichung immer erfüllt sein für jeden Wert von $a$ .

Alle reellen Zahlen

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Alle reellen Zahlen

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$