Trigonometrie Beispiele

$\sin (\frac{3 n}{2}) = 1$

Schritt 1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $n$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$\frac{3 n}{2} = \arcsin (1)$

Schritt 2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Der genau Wert von $\arcsin (1)$ ist $\frac{π}{2}$ .

$\frac{3 n}{2} = \frac{π}{2}$

Schritt 3

Da der Ausdruck auf jeder Seite der Gleichung den gleichen Nenner hat, müssen die Zähler gleich sein.

$3 n = π$

Schritt 4

Teile jeden Ausdruck in $3 n = π$ durch $3$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Teile jeden Ausdruck in $3 n = π$ durch $3$ .

$\frac{3 n}{3} = \frac{π}{3}$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 n}{3} = \frac{π}{3}$

Schritt 4.2.1.2

Dividiere $n$ durch $1$ .

$n = \frac{π}{3}$

Schritt 5

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$\frac{3 n}{2} = π - \frac{π}{2}$

Schritt 6

Löse nach $n$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 n}{2} = \frac{2}{3} (π - \frac{π}{2})$

Schritt 6.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1.1

Vereinfache $\frac{2}{3} \cdot \frac{3 n}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 n}{2} = \frac{2}{3} (π - \frac{π}{2})$

Schritt 6.2.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{3} (3 n) = \frac{2}{3} (π - \frac{π}{2})$

Schritt 6.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 n$ heraus.

$\frac{1}{3} (3 (n)) = \frac{2}{3} (π - \frac{π}{2})$

Schritt 6.2.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{3} (3 n) = \frac{2}{3} (π - \frac{π}{2})$

Schritt 6.2.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$n = \frac{2}{3} (π - \frac{π}{2})$

Schritt 6.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.2.1

Vereinfache $\frac{2}{3} (π - \frac{π}{2})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.2.1.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$n = \frac{2}{3} (π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2})$

Schritt 6.2.2.1.2

Vereinfache Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.2.1.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{2}{2}$ .

$n = \frac{2}{3} (\frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2})$

Schritt 6.2.2.1.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$n = \frac{2}{3} \cdot \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 6.2.2.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.2.1.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$n = \frac{2}{3} \cdot \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 6.2.2.1.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$n = \frac{1}{3} (π \cdot 2 - π)$

Schritt 6.2.2.1.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $π$ .

$n = \frac{1}{3} (2 π - π)$

Schritt 6.2.2.1.4

Vereinfache Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.2.1.4.1

Subtrahiere $π$ von $2 π$ .

$n = \frac{1}{3} π$

Schritt 6.2.2.1.4.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $π$ .

$n = \frac{π}{3}$

Schritt 7

Ermittele die Periode von $\sin (\frac{3 n}{2})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 7.2

Ersetze $b$ durch $\frac{3}{2}$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| \frac{3}{2} |}$

Schritt 7.3

$\frac{3}{2}$ ist ungefähr $1.5$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{2 π}{\frac{3}{2}}$

Schritt 7.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$2 π \frac{2}{3}$

Schritt 7.5

Multipliziere $2 π \frac{2}{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.5.1

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{3} π$

Schritt 7.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{4}{3} π$

Schritt 7.5.3

Kombiniere $\frac{4}{3}$ und $π$ .

$\frac{4 π}{3}$

Schritt 8

Die Periode der Funktion $\sin (\frac{3 n}{2})$ ist $\frac{4 π}{3}$ , d. h., Werte werden sich alle $\frac{4 π}{3}$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$n = \frac{π}{3} + \frac{4 π n}{3}$ , für jede Ganzzahl $n$