Trigonometrie Beispiele

$x - \sqrt{4 x - 4} = 4$

Schritt 1

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \sqrt{4 x - 4} = 4 - x$

Schritt 2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(- \sqrt{4 x - 4})}^{2} = {(4 - x)}^{2}$

Schritt 3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{4 x - 4}$ als ${(4 x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(- {(4 x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(4 - x)}^{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache ${(- {(4 x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Wende die Produktregel auf $- {(4 x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ an.

${(- 1)}^{2} {({(4 x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(4 - x)}^{2}$

Schritt 3.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$1 {({(4 x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(4 - x)}^{2}$

Schritt 3.2.1.3

Mutltipliziere ${({(4 x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ mit $1$ .

${({(4 x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(4 - x)}^{2}$

Schritt 3.2.1.4

Multipliziere die Exponenten in ${({(4 x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(4 x - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(4 - x)}^{2}$

Schritt 3.2.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(4 x - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(4 - x)}^{2}$

Schritt 3.2.1.4.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(4 x - 4)}^{1} = {(4 - x)}^{2}$

Schritt 3.2.1.5

Vereinfache.

$4 x - 4 = {(4 - x)}^{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache ${(4 - x)}^{2}$ .

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Schritt 3.3.1.1

Schreibe ${(4 - x)}^{2}$ als $(4 - x) (4 - x)$ um.

$4 x - 4 = (4 - x) (4 - x)$

Schritt 3.3.1.2

Multipliziere $(4 - x) (4 - x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x - 4 = 4 (4 - x) - x (4 - x)$

Schritt 3.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x - 4 = 4 \cdot 4 + 4 (- x) - x (4 - x)$

Schritt 3.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x - 4 = 4 \cdot 4 + 4 (- x) - x \cdot 4 - x (- x)$

Schritt 3.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.3.1.1

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$4 x - 4 = 16 + 4 (- x) - x \cdot 4 - x (- x)$

Schritt 3.3.1.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$4 x - 4 = 16 - 4 x - x \cdot 4 - x (- x)$

Schritt 3.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$4 x - 4 = 16 - 4 x - 4 x - x (- x)$

Schritt 3.3.1.3.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$4 x - 4 = 16 - 4 x - 4 x - 1 \cdot - 1 x \cdot x$

Schritt 3.3.1.3.1.5

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.1.3.1.5.1

Bewege $x$ .

$4 x - 4 = 16 - 4 x - 4 x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x)$

Schritt 3.3.1.3.1.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$4 x - 4 = 16 - 4 x - 4 x - 1 \cdot - 1 x^{2}$

Schritt 3.3.1.3.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$4 x - 4 = 16 - 4 x - 4 x + 1 x^{2}$

Schritt 3.3.1.3.1.7

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$4 x - 4 = 16 - 4 x - 4 x + x^{2}$

Schritt 3.3.1.3.2

Subtrahiere $4 x$ von $- 4 x$ .

$4 x - 4 = 16 - 8 x + x^{2}$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$16 - 8 x + x^{2} = 4 x - 4$

Schritt 4.2

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $4 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$16 - 8 x + x^{2} - 4 x = - 4$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $4 x$ von $- 8 x$ .

$16 + x^{2} - 12 x = - 4$

Schritt 4.3

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$16 + x^{2} - 12 x + 4 = 0$

Schritt 4.4

Addiere $16$ und $4$ .

$x^{2} - 12 x + 20 = 0$

Schritt 4.5

Faktorisiere $x^{2} - 12 x + 20$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 4.5.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $20$ und deren Summe $- 12$ ist.

$- 10, - 2$

Schritt 4.5.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 10) (x - 2) = 0$

Schritt 4.6

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 10 = 0$

$x - 2 = 0$

Schritt 4.7

Setze $x - 10$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.7.1

Setze $x - 10$ gleich $0$ .

$x - 10 = 0$

Schritt 4.7.2

Addiere $10$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 10$

Schritt 4.8

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.8.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 4.8.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 4.9

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 10) (x - 2) = 0$ wahr machen.

$x = 10, 2$

Schritt 5

Schließe die Lösungen aus, die $x - \sqrt{4 x - 4} = 4$ nicht erfüllen.

$x = 10$