Trigonometrie Beispiele

$\tan (67.5 °)$

Schritt 1

Schreibe $67.5 °$ um als einen Winkel, für den die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind, dividiert durch $2$ .

$\tan (\frac{135}{2})$

Schritt 2

Wende die Tangens-Halbwinkelformel an.

$\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (135)}{1 + \cos (135)}}$

Schritt 3

Ändere $\pm$ zu $+$ weil der Tangens im 1. Quadranten positiv ist.

$\sqrt{\frac{1 - \cos (135)}{1 + \cos (135)}}$

Schritt 4

Vereinfache $\sqrt{\frac{1 - \cos (135)}{1 + \cos (135)}}$ .

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Schritt 4.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kosinus im zweiten Quadranten negativ ist.

$\sqrt{\frac{1 - - \cos (45)}{1 + \cos (135)}}$

Schritt 4.2

Der genau Wert von $\cos (45)$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (135)}}$

Schritt 4.3

Multipliziere $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Schritt 4.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (135)}}$

Schritt 4.3.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ mit $1$ .

$\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (135)}}$

Schritt 4.4

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (135)}}$

Schritt 4.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (135)}}$

Schritt 4.6

$\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 - \cos (45)}}$

Schritt 4.7

Der genau Wert von $\cos (45)$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}}$

Schritt 4.8

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}}$

Schritt 4.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}}$

Schritt 4.10

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{2}}}$

Schritt 4.11

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.11.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{2}}}$

Schritt 4.11.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{1}{2 - \sqrt{2}}}$

Schritt 4.12

Mutltipliziere $\frac{1}{2 - \sqrt{2}}$ mit $\frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ .

$\sqrt{(2 + \sqrt{2}) (\frac{1}{2 - \sqrt{2}} \cdot \frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}})}$

Schritt 4.13

Mutltipliziere $\frac{1}{2 - \sqrt{2}}$ mit $\frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ .

$\sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{(2 - \sqrt{2}) (2 + \sqrt{2})}}$

Schritt 4.14

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$\sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{2}}}$

Schritt 4.15

Vereinfache.

$\sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{2}}$

Schritt 4.16

Wende das Distributivgesetz an.

$\sqrt{2 \frac{2 + \sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}}$

Schritt 4.17

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.17.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{2 \frac{2 + \sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}}$

Schritt 4.17.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}}$

Schritt 4.18

Kombiniere $\sqrt{2}$ und $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ .

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}}$

Schritt 4.19

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.19.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}}$

Schritt 4.19.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\sqrt{2}$ .

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}}$

Schritt 4.19.3

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2 \cdot 2}}{2}}$

Schritt 4.19.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.19.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} + \sqrt{4}}{2}}$

Schritt 4.19.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} + \sqrt{2^{2}}}{2}}$

Schritt 4.19.4.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} + 2}{2}}$

Schritt 4.19.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2 \sqrt{2} + 2$ und $2$ .

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Schritt 4.19.5.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \sqrt{2}$ heraus.

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2}) + 2}{2}}$

Schritt 4.19.5.2

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2}) + 2 \cdot 1}{2}}$

Schritt 4.19.5.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (\sqrt{2}) + 2 (1)$ heraus.

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2} + 1)}{2}}$

Schritt 4.19.5.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.19.5.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2} + 1)}{2 (1)}}$

Schritt 4.19.5.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2} + 1)}{2 \cdot 1}}$

Schritt 4.19.5.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} + 1}{1}}$

Schritt 4.19.5.4.4

Dividiere $\sqrt{2} + 1$ durch $1$ .

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 1}$

Schritt 4.20

Addiere $2$ und $1$ .

$\sqrt{3 + \sqrt{2} + \sqrt{2}}$

Schritt 4.21

Addiere $\sqrt{2}$ und $\sqrt{2}$ .

$\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$

Dezimalform:

$2.41421356 \dots$