Trigonometrie Beispiele

$(x^{4} + 5 x^{2} - 36) (2 x^{2} + 9 x - 5) = 0$

Schritt 1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{4} + 5 x^{2} - 36 = 0$

$2 x^{2} + 9 x - 5 = 0$

Schritt 2

Setze $x^{4} + 5 x^{2} - 36$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Setze $x^{4} + 5 x^{2} - 36$ gleich $0$ .

$x^{4} + 5 x^{2} - 36 = 0$

Schritt 2.2

Löse $x^{4} + 5 x^{2} - 36 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.1

Setze $u = x^{2}$ in die Gleichung ein. Das macht die Quadratformel leicht anzuwenden.

$u^{2} + 5 u - 36 = 0$

$u = x^{2}$

Schritt 2.2.2

Faktorisiere $u^{2} + 5 u - 36$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.2.2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 36$ und deren Summe $5$ ist.

$- 4, 9$

Schritt 2.2.2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(u - 4) (u + 9) = 0$

Schritt 2.2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$u - 4 = 0$

$u + 9 = 0$

Schritt 2.2.4

Setze $u - 4$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 2.2.4.1

Setze $u - 4$ gleich $0$ .

$u - 4 = 0$

Schritt 2.2.4.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u = 4$

Schritt 2.2.5

Setze $u + 9$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 2.2.5.1

Setze $u + 9$ gleich $0$ .

$u + 9 = 0$

Schritt 2.2.5.2

Subtrahiere $9$ von beiden Seiten der Gleichung.

$u = - 9$

Schritt 2.2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(u - 4) (u + 9) = 0$ wahr machen.

$u = 4, - 9$

Schritt 2.2.7

Rücksubstituiere den tatsächlichen Wert von $u = x^{2}$ in die gelöste Gleichung.

$x^{2} = 4$

${(x^{2})}^{1} = - 9$

Schritt 2.2.8

Löse die erste Gleichung nach $x$ auf.

$x^{2} = 4$

Schritt 2.2.9

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.9.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

Schritt 2.2.9.2

Vereinfache $\pm \sqrt{4}$ .

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Schritt 2.2.9.2.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Schritt 2.2.9.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 2$

Schritt 2.2.9.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.2.9.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 2$

Schritt 2.2.9.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 2$

Schritt 2.2.9.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 2, - 2$

Schritt 2.2.10

Löse die zweite Gleichung nach $x$ auf.

${(x^{2})}^{1} = - 9$

Schritt 2.2.11

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.11.1

Entferne die Klammern.

$x^{2} = - 9$

Schritt 2.2.11.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 9}$

Schritt 2.2.11.3

Vereinfache $\pm \sqrt{- 9}$ .

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Schritt 2.2.11.3.1

Schreibe $- 9$ als $- 1 (9)$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1 (9)}$

Schritt 2.2.11.3.2

Schreibe $\sqrt{- 1 (9)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$

Schritt 2.2.11.3.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i \cdot \sqrt{9}$

Schritt 2.2.11.3.4

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x = \pm i \cdot \sqrt{3^{2}}$

Schritt 2.2.11.3.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm i \cdot 3$

Schritt 2.2.11.3.6

Bringe $3$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \pm 3 i$

Schritt 2.2.11.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.2.11.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 3 i$

Schritt 2.2.11.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 3 i$

Schritt 2.2.11.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 3 i, - 3 i$

Schritt 2.2.12

Die Lösung von $x^{4} + 5 x^{2} - 36 = 0$ ist $x = 2, - 2, 3 i, - 3 i$ .

$x = 2, - 2, 3 i, - 3 i$

Schritt 3

Setze $2 x^{2} + 9 x - 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Setze $2 x^{2} + 9 x - 5$ gleich $0$ .

$2 x^{2} + 9 x - 5 = 0$

Schritt 3.2

Löse $2 x^{2} + 9 x - 5 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 3.2.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot - 5 = - 10$ und deren Summe gleich $b = 9$ ist.

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Schritt 3.2.1.1.1

Faktorisiere $9$ aus $9 x$ heraus.

$2 x^{2} + 9 (x) - 5 = 0$

Schritt 3.2.1.1.2

Schreibe $9$ um als $- 1$ plus $10$

$2 x^{2} + (- 1 + 10) x - 5 = 0$

Schritt 3.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x^{2} - 1 x + 10 x - 5 = 0$

Schritt 3.2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.2.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(2 x^{2} - 1 x) + 10 x - 5 = 0$

Schritt 3.2.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x (2 x - 1) + 5 (2 x - 1) = 0$

Schritt 3.2.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 x - 1$ .

$(2 x - 1) (x + 5) = 0$

Schritt 3.2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$2 x - 1 = 0$

$x + 5 = 0$

Schritt 3.2.3

Setze $2 x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.3.1

Setze $2 x - 1$ gleich $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Schritt 3.2.3.2

Löse $2 x - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.3.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 1$

Schritt 3.2.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 1$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 3.2.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.3.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 3.2.3.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Schritt 3.2.4

Setze $x + 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.4.1

Setze $x + 5$ gleich $0$ .

$x + 5 = 0$

Schritt 3.2.4.2

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 5$

Schritt 3.2.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(2 x - 1) (x + 5) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{1}{2}, - 5$

Schritt 4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x^{4} + 5 x^{2} - 36) (2 x^{2} + 9 x - 5) = 0$ wahr machen.

$x = 2, - 2, 3 i, - 3 i, \frac{1}{2}, - 5$