Trigonometrie Beispiele

$(\frac{\sin (s - t)}{\sin (t)}) + (\frac{\cos (s - t)}{\cos (t)}) = \frac{\sin (s)}{\sin (t) \cos (t)}$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1

Schreibe $\frac{\sin (s - t)}{\sin (t)}$ als ein Produkt um.

$\sin (s - t) \frac{1}{\sin (t)} + \frac{\cos (s - t)}{\cos (t)} = \frac{\sin (s)}{\sin (t) \cos (t)}$

Schritt 1.1.2

Schreibe $\sin (s - t)$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{\sin (s - t)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (t)} + \frac{\cos (s - t)}{\cos (t)} = \frac{\sin (s)}{\sin (t) \cos (t)}$

Schritt 1.1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.1.3.1

Dividiere $\sin (s - t)$ durch $1$ .

$\sin (s - t) \frac{1}{\sin (t)} + \frac{\cos (s - t)}{\cos (t)} = \frac{\sin (s)}{\sin (t) \cos (t)}$

Schritt 1.1.3.2

Wandle von $\frac{1}{\sin (t)}$ nach $\csc (t)$ um.

$\sin (s - t) \csc (t) + \frac{\cos (s - t)}{\cos (t)} = \frac{\sin (s)}{\sin (t) \cos (t)}$

Schritt 1.1.4

Schreibe $\frac{\cos (s - t)}{\cos (t)}$ als ein Produkt um.

$\sin (s - t) \csc (t) + \cos (s - t) \frac{1}{\cos (t)} = \frac{\sin (s)}{\sin (t) \cos (t)}$

Schritt 1.1.5

Schreibe $\cos (s - t)$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\sin (s - t) \csc (t) + \frac{\cos (s - t)}{1} \cdot \frac{1}{\cos (t)} = \frac{\sin (s)}{\sin (t) \cos (t)}$

Schritt 1.1.6

Vereinfache.

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Schritt 1.1.6.1

Dividiere $\cos (s - t)$ durch $1$ .

$\sin (s - t) \csc (t) + \cos (s - t) \frac{1}{\cos (t)} = \frac{\sin (s)}{\sin (t) \cos (t)}$

Schritt 1.1.6.2

Wandle von $\frac{1}{\cos (t)}$ nach $\sec (t)$ um.

$\sin (s - t) \csc (t) + \cos (s - t) \sec (t) = \frac{\sin (s)}{\sin (t) \cos (t)}$

Schritt 2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1

Vereinfache $\frac{\sin (s)}{\sin (t) \cos (t)}$ .

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Schritt 2.1.1

Separiere Brüche.

$\sin (s - t) \csc (t) + \cos (s - t) \sec (t) = \frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{\sin (s)}{\sin (t)}$

Schritt 2.1.2

Schreibe $\frac{\sin (s)}{\sin (t)}$ als ein Produkt um.

$\sin (s - t) \csc (t) + \cos (s - t) \sec (t) = \frac{1}{\cos (t)} (\sin (s) \frac{1}{\sin (t)})$

Schritt 2.1.3

Schreibe $\sin (s)$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\sin (s - t) \csc (t) + \cos (s - t) \sec (t) = \frac{1}{\cos (t)} (\frac{\sin (s)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (t)})$

Schritt 2.1.4

Vereinfache.

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Schritt 2.1.4.1

Dividiere $\sin (s)$ durch $1$ .

$\sin (s - t) \csc (t) + \cos (s - t) \sec (t) = \frac{1}{\cos (t)} (\sin (s) \frac{1}{\sin (t)})$

Schritt 2.1.4.2

Wandle von $\frac{1}{\sin (t)}$ nach $\csc (t)$ um.

$\sin (s - t) \csc (t) + \cos (s - t) \sec (t) = \frac{1}{\cos (t)} (\sin (s) \csc (t))$

Schritt 2.1.5

Wandle von $\frac{1}{\cos (t)}$ nach $\sec (t)$ um.

$\sin (s - t) \csc (t) + \cos (s - t) \sec (t) = \sec (t) \sin (s) \csc (t)$

Schritt 3

Vereinfache $\sin (s - t) \csc (t) + \cos (s - t) \sec (t)$ .

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Schritt 3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1

Schreibe $\csc (t)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\sin (s - t) \frac{1}{\sin (t)} + \cos (s - t) \sec (t) = \sec (t) \sin (s) \csc (t)$

Schritt 3.1.2

Kombiniere $\sin (s - t)$ und $\frac{1}{\sin (t)}$ .

$\frac{\sin (s - t)}{\sin (t)} + \cos (s - t) \sec (t) = \sec (t) \sin (s) \csc (t)$

Schritt 3.1.3

Schreibe $\sec (t)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\sin (s - t)}{\sin (t)} + \cos (s - t) \frac{1}{\cos (t)} = \sec (t) \sin (s) \csc (t)$

Schritt 3.1.4

Kombiniere $\cos (s - t)$ und $\frac{1}{\cos (t)}$ .

$\frac{\sin (s - t)}{\sin (t)} + \frac{\cos (s - t)}{\cos (t)} = \sec (t) \sin (s) \csc (t)$

Schritt 3.2

Um $\frac{\sin (s - t)}{\sin (t)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\cos (t)}{\cos (t)}$ .

$\frac{\sin (s - t)}{\sin (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{\cos (t)} + \frac{\cos (s - t)}{\cos (t)} = \sec (t) \sin (s) \csc (t)$

Schritt 3.3

Um $\frac{\cos (s - t)}{\cos (t)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\sin (t)}{\sin (t)}$ .

$\frac{\sin (s - t)}{\sin (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{\cos (t)} + \frac{\cos (s - t)}{\cos (t)} \cdot \frac{\sin (t)}{\sin (t)} = \sec (t) \sin (s) \csc (t)$

Schritt 3.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $\sin (t) \cos (t)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.4.1

Mutltipliziere $\frac{\sin (s - t)}{\sin (t)}$ mit $\frac{\cos (t)}{\cos (t)}$ .

$\frac{\sin (s - t) \cos (t)}{\sin (t) \cos (t)} + \frac{\cos (s - t)}{\cos (t)} \cdot \frac{\sin (t)}{\sin (t)} = \sec (t) \sin (s) \csc (t)$

Schritt 3.4.2

Mutltipliziere $\frac{\cos (s - t)}{\cos (t)}$ mit $\frac{\sin (t)}{\sin (t)}$ .

$\frac{\sin (s - t) \cos (t)}{\sin (t) \cos (t)} + \frac{\cos (s - t) \sin (t)}{\cos (t) \sin (t)} = \sec (t) \sin (s) \csc (t)$

Schritt 3.4.3

Stelle die Faktoren von $\sin (t) \cos (t)$ um.

$\frac{\sin (s - t) \cos (t)}{\cos (t) \sin (t)} + \frac{\cos (s - t) \sin (t)}{\cos (t) \sin (t)} = \sec (t) \sin (s) \csc (t)$

Schritt 3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\sin (s - t) \cos (t) + \cos (s - t) \sin (t)}{\cos (t) \sin (t)} = \sec (t) \sin (s) \csc (t)$

Schritt 4

Vereinfache $\sec (t) \sin (s) \csc (t)$ .

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Schritt 4.1

Schreibe $\sec (t)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\sin (s - t) \cos (t) + \cos (s - t) \sin (t)}{\cos (t) \sin (t)} = \frac{1}{\cos (t)} \sin (s) \csc (t)$

Schritt 4.2

Kombiniere $\frac{1}{\cos (t)}$ und $\sin (s)$ .

$\frac{\sin (s - t) \cos (t) + \cos (s - t) \sin (t)}{\cos (t) \sin (t)} = \frac{\sin (s)}{\cos (t)} \csc (t)$

Schritt 4.3

Schreibe $\csc (t)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\sin (s - t) \cos (t) + \cos (s - t) \sin (t)}{\cos (t) \sin (t)} = \frac{\sin (s)}{\cos (t)} \cdot \frac{1}{\sin (t)}$

Schritt 4.4

Mutltipliziere $\frac{\sin (s)}{\cos (t)}$ mit $\frac{1}{\sin (t)}$ .

$\frac{\sin (s - t) \cos (t) + \cos (s - t) \sin (t)}{\cos (t) \sin (t)} = \frac{\sin (s)}{\cos (t) \sin (t)}$

Schritt 4.5

Separiere Brüche.

$\frac{\sin (s - t) \cos (t) + \cos (s - t) \sin (t)}{\cos (t) \sin (t)} = \frac{1}{\sin (t)} \cdot \frac{\sin (s)}{\cos (t)}$

Schritt 4.6

Schreibe $\frac{\sin (s)}{\cos (t)}$ als ein Produkt um.

$\frac{\sin (s - t) \cos (t) + \cos (s - t) \sin (t)}{\cos (t) \sin (t)} = \frac{1}{\sin (t)} (\sin (s) \frac{1}{\cos (t)})$

Schritt 4.7

Schreibe $\sin (s)$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{\sin (s - t) \cos (t) + \cos (s - t) \sin (t)}{\cos (t) \sin (t)} = \frac{1}{\sin (t)} (\frac{\sin (s)}{1} \cdot \frac{1}{\cos (t)})$

Schritt 4.8

Vereinfache.

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Schritt 4.8.1

Dividiere $\sin (s)$ durch $1$ .

$\frac{\sin (s - t) \cos (t) + \cos (s - t) \sin (t)}{\cos (t) \sin (t)} = \frac{1}{\sin (t)} (\sin (s) \frac{1}{\cos (t)})$

Schritt 4.8.2

Wandle von $\frac{1}{\cos (t)}$ nach $\sec (t)$ um.

$\frac{\sin (s - t) \cos (t) + \cos (s - t) \sin (t)}{\cos (t) \sin (t)} = \frac{1}{\sin (t)} (\sin (s) \sec (t))$

Schritt 4.9

Wandle von $\frac{1}{\sin (t)}$ nach $\csc (t)$ um.

$\frac{\sin (s - t) \cos (t) + \cos (s - t) \sin (t)}{\cos (t) \sin (t)} = \csc (t) \sin (s) \sec (t)$

Schritt 5

Vereinfache $\csc (t) \sin (s) \sec (t)$ .

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Schritt 5.1

Schreibe $\csc (t)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\sin (s - t) \cos (t) + \cos (s - t) \sin (t)}{\cos (t) \sin (t)} = \frac{1}{\sin (t)} \sin (s) \sec (t)$

Schritt 5.2

Kombiniere $\frac{1}{\sin (t)}$ und $\sin (s)$ .

$\frac{\sin (s - t) \cos (t) + \cos (s - t) \sin (t)}{\cos (t) \sin (t)} = \frac{\sin (s)}{\sin (t)} \sec (t)$

Schritt 5.3

Schreibe $\sec (t)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\sin (s - t) \cos (t) + \cos (s - t) \sin (t)}{\cos (t) \sin (t)} = \frac{\sin (s)}{\sin (t)} \cdot \frac{1}{\cos (t)}$

Schritt 5.4

Mutltipliziere $\frac{\sin (s)}{\sin (t)}$ mit $\frac{1}{\cos (t)}$ .

$\frac{\sin (s - t) \cos (t) + \cos (s - t) \sin (t)}{\cos (t) \sin (t)} = \frac{\sin (s)}{\sin (t) \cos (t)}$

Schritt 5.5

Separiere Brüche.

$\frac{\sin (s - t) \cos (t) + \cos (s - t) \sin (t)}{\cos (t) \sin (t)} = \frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{\sin (s)}{\sin (t)}$

Schritt 5.6

Schreibe $\frac{\sin (s)}{\sin (t)}$ als ein Produkt um.

$\frac{\sin (s - t) \cos (t) + \cos (s - t) \sin (t)}{\cos (t) \sin (t)} = \frac{1}{\cos (t)} (\sin (s) \frac{1}{\sin (t)})$

Schritt 5.7

Schreibe $\sin (s)$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{\sin (s - t) \cos (t) + \cos (s - t) \sin (t)}{\cos (t) \sin (t)} = \frac{1}{\cos (t)} (\frac{\sin (s)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (t)})$

Schritt 5.8

Vereinfache.

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Schritt 5.8.1

Dividiere $\sin (s)$ durch $1$ .

$\frac{\sin (s - t) \cos (t) + \cos (s - t) \sin (t)}{\cos (t) \sin (t)} = \frac{1}{\cos (t)} (\sin (s) \frac{1}{\sin (t)})$

Schritt 5.8.2

Wandle von $\frac{1}{\sin (t)}$ nach $\csc (t)$ um.

$\frac{\sin (s - t) \cos (t) + \cos (s - t) \sin (t)}{\cos (t) \sin (t)} = \frac{1}{\cos (t)} (\sin (s) \csc (t))$

Schritt 5.9

Wandle von $\frac{1}{\cos (t)}$ nach $\sec (t)$ um.

$\frac{\sin (s - t) \cos (t) + \cos (s - t) \sin (t)}{\cos (t) \sin (t)} = \sec (t) \sin (s) \csc (t)$

Schritt 6

Bringe alle Terme, die $s$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 6.1

Subtrahiere $\sec (t) \sin (s) \csc (t)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{\sin (s - t) \cos (t) + \cos (s - t) \sin (t)}{\cos (t) \sin (t)} - \sec (t) \sin (s) \csc (t) = 0$

Schritt 6.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1

Schreibe $\sec (t)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\sin (s - t) \cos (t) + \cos (s - t) \sin (t)}{\cos (t) \sin (t)} - \frac{1}{\cos (t)} \sin (s) \csc (t) = 0$

Schritt 6.2.2

Kombiniere $\sin (s)$ und $\frac{1}{\cos (t)}$ .

$\frac{\sin (s - t) \cos (t) + \cos (s - t) \sin (t)}{\cos (t) \sin (t)} - \frac{\sin (s)}{\cos (t)} \csc (t) = 0$

Schritt 6.2.3

Schreibe $\csc (t)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\sin (s - t) \cos (t) + \cos (s - t) \sin (t)}{\cos (t) \sin (t)} - \frac{\sin (s)}{\cos (t)} \cdot \frac{1}{\sin (t)} = 0$

Schritt 6.2.4

Mutltipliziere $\frac{1}{\sin (t)}$ mit $\frac{\sin (s)}{\cos (t)}$ .

$\frac{\sin (s - t) \cos (t) + \cos (s - t) \sin (t)}{\cos (t) \sin (t)} - \frac{\sin (s)}{\sin (t) \cos (t)} = 0$

Schritt 6.3

Stelle die Faktoren von $\sin (t) \cos (t)$ um.

$\frac{\sin (s - t) \cos (t) + \cos (s - t) \sin (t)}{\cos (t) \sin (t)} - \frac{\sin (s)}{\cos (t) \sin (t)} = 0$

Schritt 6.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\sin (s - t) \cos (t) + \cos (s - t) \sin (t) - \sin (s)}{\cos (t) \sin (t)} = 0$