Trigonometrie Beispiele

$(h^{2} - 16 h + 64) + (k^{2} - 12 k + 36) = 100$

Schritt 1

Addiere $64$ und $36$ .

$h^{2} - 16 h + k^{2} - 12 k + 100 = 100$

Schritt 2

Bringe alle Terme auf die linke Seite der Gleichung und vereinfache.

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Schritt 2.1

Subtrahiere $100$ von beiden Seiten der Gleichung.

$h^{2} - 16 h + k^{2} - 12 k + 100 - 100 = 0$

Schritt 2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $h^{2} - 16 h + k^{2} - 12 k + 100 - 100$ .

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Schritt 2.2.1

Subtrahiere $100$ von $100$ .

$h^{2} - 16 h + k^{2} - 12 k + 0 = 0$

Schritt 2.2.2

Addiere $h^{2} - 16 h + k^{2} - 12 k$ und $0$ .

$h^{2} - 16 h + k^{2} - 12 k = 0$

Schritt 3

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 16$ und $c = k^{2} - 12 k$ in die Quadratformel ein und löse nach $h$ auf.

$\frac{16 \pm \sqrt{{(- 16)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (k^{2} - 12 k))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Potenziere $- 16$ mit $2$ .

$h = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 1 \cdot (k^{2} - 12 k)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$h = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot (k^{2} - 12 k)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$h = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 k^{2} - 4 (- 12 k)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.4

Mutltipliziere $- 12$ mit $- 4$ .

$h = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 k^{2} + 48 k}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.5

Stelle die Terme um.

$h = \frac{16 \pm \sqrt{- 4 k^{2} + 48 k + 256}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.6

Schreibe $- 4 k^{2} + 48 k + 256$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.1.6.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4 k^{2} + 48 k + 256$ heraus.

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Schritt 5.1.6.1.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4 k^{2}$ heraus.

$h = \frac{16 \pm \sqrt{4 (- k^{2}) + 48 k + 256}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.6.1.2

Faktorisiere $4$ aus $48 k$ heraus.

$h = \frac{16 \pm \sqrt{4 (- k^{2}) + 4 (12 k) + 256}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.6.1.3

Faktorisiere $4$ aus $256$ heraus.

$h = \frac{16 \pm \sqrt{4 (- k^{2}) + 4 (12 k) + 4 (64)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.6.1.4

Faktorisiere $4$ aus $4 (- k^{2}) + 4 (12 k)$ heraus.

$h = \frac{16 \pm \sqrt{4 (- k^{2} + 12 k) + 4 (64)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.6.1.5

Faktorisiere $4$ aus $4 (- k^{2} + 12 k) + 4 (64)$ heraus.

$h = \frac{16 \pm \sqrt{4 (- k^{2} + 12 k + 64)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.6.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 5.1.6.2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 1 \cdot 64 = - 64$ und deren Summe gleich $b = 12$ ist.

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Schritt 5.1.6.2.1.1

Faktorisiere $12$ aus $12 k$ heraus.

$h = \frac{16 \pm \sqrt{4 (- k^{2} + 12 (k) + 64)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.6.2.1.2

Schreibe $12$ um als $- 4$ plus $16$

$h = \frac{16 \pm \sqrt{4 (- k^{2} + (- 4 + 16) k + 64)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.6.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$h = \frac{16 \pm \sqrt{4 (- k^{2} - 4 k + 16 k + 64)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.6.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 5.1.6.2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$h = \frac{16 \pm \sqrt{4 ((- k^{2} - 4 k) + 16 k + 64)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.6.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$h = \frac{16 \pm \sqrt{4 (k (- k - 4) - 16 (- k - 4))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.6.2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- k - 4$ .

$h = \frac{16 \pm \sqrt{4 ((- k - 4) (k - 16))}}{2 \cdot 1}$

$h = \frac{16 \pm \sqrt{4 (- k - 4) (k - 16)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.7

Schreibe $4 (- k - 4) (k - 16)$ als $2^{2} ((- k - 4) (k - 16))$ um.

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Schritt 5.1.7.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$h = \frac{16 \pm \sqrt{2^{2} (- k - 4) (k - 16)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.7.2

Füge Klammern hinzu.

$h = \frac{16 \pm \sqrt{2^{2} ((- k - 4) (k - 16))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$h = \frac{16 \pm 2 \sqrt{(- k - 4) (k - 16)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$h = \frac{16 \pm 2 \sqrt{(- k - 4) (k - 16)}}{2}$

Schritt 5.3

Vereinfache $\frac{16 \pm 2 \sqrt{(- k - 4) (k - 16)}}{2}$ .

$h = 8 \pm \sqrt{(- k - 4) (k - 16)}$

Schritt 6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$h = 8 + \sqrt{(- k - 4) (k - 16)}$

$h = 8 - \sqrt{(- k - 4) (k - 16)}$