Trigonometrie Beispiele

$- \sin (π x) = 1$

Schritt 1

Teile jeden Ausdruck in $- \sin (π x) = 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $- \sin (π x) = 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- \sin (π x)}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Schritt 1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\sin (π x)}{1} = \frac{1}{- 1}$

Schritt 1.2.2

Dividiere $\sin (π x)$ durch $1$ .

$\sin (π x) = \frac{1}{- 1}$

Schritt 1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.1

Dividiere $1$ durch $- 1$ .

$\sin (π x) = - 1$

Schritt 2

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$π x = \arcsin (- 1)$

Schritt 3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.1

Der genau Wert von $\arcsin (- 1)$ ist $- \frac{π}{2}$ .

$π x = - \frac{π}{2}$

Schritt 4

Teile jeden Ausdruck in $π x = - \frac{π}{2}$ durch $π$ und vereinfache.

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Schritt 4.1

Teile jeden Ausdruck in $π x = - \frac{π}{2}$ durch $π$ .

$\frac{π x}{π} = \frac{- \frac{π}{2}}{π}$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{π x}{π} = \frac{- \frac{π}{2}}{π}$

Schritt 4.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- \frac{π}{2}}{π}$

Schritt 4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = - \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{π}$

Schritt 4.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 4.3.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{π}{2}$ in den Zähler.

$x = \frac{- π}{2} \cdot \frac{1}{π}$

Schritt 4.3.2.2

Faktorisiere $π$ aus $- π$ heraus.

$x = \frac{π \cdot - 1}{2} \cdot \frac{1}{π}$

Schritt 4.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{π \cdot - 1}{2} \cdot \frac{1}{π}$

Schritt 4.3.2.4

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{- 1}{2}$

Schritt 4.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1}{2}$

Schritt 5

Die Sinusfunktion ist negativ im dritten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere die Lösung von $2 π$ , um einen Referenzwinkel zu ermitteln. Addiere als nächstes diesen Referenzwinkel zu $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$π x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Schritt 6

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 6.1

Subtrahiere $2 π$ von $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$π x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Schritt 6.2

Der resultierende Winkel von $\frac{3 π}{2}$ ist positiv, kleiner als $2 π$ und gleich $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$π x = \frac{3 π}{2}$

Schritt 6.3

Teile jeden Ausdruck in $π x = \frac{3 π}{2}$ durch $π$ und vereinfache.

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Schritt 6.3.1

Teile jeden Ausdruck in $π x = \frac{3 π}{2}$ durch $π$ .

$\frac{π x}{π} = \frac{\frac{3 π}{2}}{π}$

Schritt 6.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 6.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{π x}{π} = \frac{\frac{3 π}{2}}{π}$

Schritt 6.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{π}$

Schritt 6.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{π}$

Schritt 6.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 6.3.3.2.1

Faktorisiere $π$ aus $3 π$ heraus.

$x = \frac{π \cdot 3}{2} \cdot \frac{1}{π}$

Schritt 6.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{π \cdot 3}{2} \cdot \frac{1}{π}$

Schritt 6.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{3}{2}$

Schritt 7

Ermittele die Periode von $\sin (π x)$ .

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Schritt 7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 7.2

Ersetze $b$ durch $π$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| π |}$

Schritt 7.3

$π$ ist ungefähr $3.14159265$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{2 π}{π}$

Schritt 7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 π}{π}$

Schritt 7.4.2

Dividiere $2$ durch $1$ .

$2$

Schritt 8

Addiere $2$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 8.1

Addiere $2$ zu $- \frac{1}{2}$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- \frac{1}{2} + 2$

Schritt 8.2

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Schritt 8.3

Kombiniere $2$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

Schritt 8.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}$

Schritt 8.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{4 - 1}{2}$

Schritt 8.5.2

Subtrahiere $1$ von $4$ .

$\frac{3}{2}$

Schritt 8.6

Liste die neuen Winkel auf.

$x = \frac{3}{2}$

Schritt 9

Die Periode der Funktion $\sin (π x)$ ist $2$ , d. h., Werte werden sich alle $2$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{3}{2} + 2 n, \frac{3}{2} + 2 n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 10

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{3}{2} + 2 n$ , für jede ganze Zahl $n$