Trigonometrie Beispiele

$\sin (70) \cos (x) - \cos (70) \sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Berechne $\sin (70)$ .

$0.93969262 \cos (x) - \cos (70) \sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 1.2

Berechne $\cos (70)$ .

$0.93969262 \cos (x) - 1 \cdot (0.34202014 \sin (x)) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $0.34202014$ .

$0.93969262 \cos (x) - 0.34202014 \sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 2

Wende die Identitätsgleichung an, um die Gleichung zu lösen. In dieser Identitätsgleichung stellt $θ$ den Winkel dar, der erzeugt wird durch Einzeichnen von Punkt $(a, b)$ auf einem Graphen und kann daher durch Anwenden von $θ = \tan^{-1} (\frac{b}{a})$ ermittelt werden.

$a \sin (x) + b \cos (x) = R \sin (x + θ)$ , wobei $R = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ und $θ = \tan^{-1} (\frac{b}{a})$

Schritt 3

Stelle die Gleichung auf, um den Wert von $θ$ zu finden.

$\tan^{-1} (\frac{0.93969262}{- 0.34202014})$

Schritt 4

Wende den inversen Tangens an, um die Gleichung nach $θ$ aufzulösen.

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Schritt 4.1

Dividiere $0.93969262$ durch $- 0.34202014$ .

$θ = \tan^{-1} (- 2.74747741)$

Schritt 4.2

Berechne $\tan^{-1} (- 2.74747741)$ .

$θ = - 70$

Schritt 5

Löse, um den Wert von $R$ zu ermitteln.

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Schritt 5.1

Potenziere $- 0.34202014$ mit $2$ .

$R = \sqrt{0.11697777 + {(0.93969262)}^{2}}$

Schritt 5.2

Potenziere $0.93969262$ mit $2$ .

$R = \sqrt{0.11697777 + 0.88302222}$

Schritt 5.3

Addiere $0.11697777$ und $0.88302222$ .

$R = \sqrt{1}$

Schritt 6

Setze die bekannten Werte in die Gleichung ein.

$(\sqrt{1}) \sin (x - 70) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 7

Teile jeden Ausdruck in $\sqrt{1} \sin (x - 70) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ durch $\sqrt{1}$ und vereinfache.

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Schritt 7.1

Teile jeden Ausdruck in $\sqrt{1} \sin (x - 70) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ durch $\sqrt{1}$ .

$\frac{\sqrt{1} \sin (x - 70)}{\sqrt{1}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{1}}$

Schritt 7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sqrt{1}$ .

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Schritt 7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{1} \sin (x - 70)}{\sqrt{1}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{1}}$

Schritt 7.2.1.2

Dividiere $\sin (x - 70)$ durch $1$ .

$\sin (x - 70) = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{1}}$

Schritt 7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\sin (x - 70) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1}}$

Schritt 7.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{1}}$ mit $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{1}}$ .

$\sin (x - 70) = \frac{\sqrt{3}}{2} (\frac{1}{\sqrt{1}} \cdot \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{1}})$

Schritt 7.3.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{1}}$ mit $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{1}}$ .

$\sin (x - 70) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{1} \sqrt{1}}$

Schritt 7.3.3.2

Potenziere $\sqrt{1}$ mit $1$ .

$\sin (x - 70) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{1}}{{\sqrt{1}}^{1} \sqrt{1}}$

Schritt 7.3.3.3

Potenziere $\sqrt{1}$ mit $1$ .

$\sin (x - 70) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{1}}{{\sqrt{1}}^{1} {\sqrt{1}}^{1}}$

Schritt 7.3.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sin (x - 70) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{1}}{{\sqrt{1}}^{1 + 1}}$

Schritt 7.3.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\sin (x - 70) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{1}}{{\sqrt{1}}^{2}}$

Schritt 7.3.3.6

Schreibe ${\sqrt{1}}^{2}$ als $1$ um.

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Schritt 7.3.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{1}$ als $1^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sin (x - 70) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{1}}{{(1^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 7.3.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (x - 70) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{1}}{1^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 7.3.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sin (x - 70) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{1}}{1^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 7.3.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.3.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (x - 70) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{1}}{1^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 7.3.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sin (x - 70) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{1}}{1^{1}}$

Schritt 7.3.3.6.5

Berechne den Exponenten.

$\sin (x - 70) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{1}}{1}$

Schritt 7.3.4

Berechne die Wurzel.

$\sin (x - 70) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{1}$

Schritt 7.3.5

Dividiere $1$ durch $1$ .

$\sin (x - 70) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1$

Schritt 7.3.6

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3}}{2}$ mit $1$ .

$\sin (x - 70) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 8

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x - 70 = \sin^{-1} (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Schritt 9

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 9.1

Der genau Wert von $\sin^{-1} (\frac{\sqrt{3}}{2})$ ist $60$ .

$x - 70 = 60$

Schritt 10

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 10.1

Addiere $70$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 60 + 70$

Schritt 10.2

Addiere $60$ und $70$ .

$x = 130$

Schritt 11

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $180$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$x - 70 = 180 - 60$

Schritt 12

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 12.1

Subtrahiere $60$ von $180$ .

$x - 70 = 120$

Schritt 12.2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 12.2.1

Addiere $70$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 120 + 70$

Schritt 12.2.2

Addiere $120$ und $70$ .

$x = 190$

Schritt 13

Ermittele die Periode von $\sin (x - 70)$ .

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Schritt 13.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{360}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{360}{| b |}$

Schritt 13.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{360}{| 1 |}$

Schritt 13.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{360}{1}$

Schritt 13.4

Dividiere $360$ durch $1$ .

$360$

Schritt 14

Die Periode der $\sin (x - 70)$ -Funktion ist $360$ , sodass sich die Werte alle $360$ Grad in beide Richtungen wiederholen werden.

$x = 130 + 360 n, 190 + 360 n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 15

Schließe die Lösungen aus, die $\sin (70) \cos (x) - \cos (70) \sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ nicht erfüllen.

Keine Lösung