Trigonometrie Beispiele

$\sin (2 x) + \sqrt{2 \cos (x)} = 0$

Schritt 1

Subtrahiere $\sin (2 x)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt{2 \cos (x)} = - \sin (2 x)$

Schritt 2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{2 \cos (x)}}^{2} = {(- \sin (2 x))}^{2}$

Schritt 3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2 \cos (x)}$ als ${(2 \cos (x))}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(2 \cos (x))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- \sin (2 x))}^{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Vereinfache ${({(2 \cos (x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(2 \cos (x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 \cos (x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \sin (2 x))}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(2 \cos (x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \sin (2 x))}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(2 \cos (x))}^{1} = {(- \sin (2 x))}^{2}$

Schritt 3.2.1.2

Vereinfache.

$2 \cos (x) = {(- \sin (2 x))}^{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Vereinfache ${(- \sin (2 x))}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1.1

Wende die Produktregel auf $- \sin (2 x)$ an.

$2 \cos (x) = {(- 1)}^{2} \sin^{2} (2 x)$

Schritt 3.3.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$2 \cos (x) = 1 \sin^{2} (2 x)$

Schritt 3.3.1.3

Mutltipliziere $\sin^{2} (2 x)$ mit $1$ .

$2 \cos (x) = \sin^{2} (2 x)$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Subtrahiere $\sin^{2} (2 x)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 \cos (x) - \sin^{2} (2 x) = 0$

Schritt 4.2

Ersetze $\sin^{2} (2 x)$ durch $1 - \cos^{2} (2 x)$ .

$2 \cos (x) - (1 - \cos^{2} (2 x)) = 0$

Schritt 4.3

Vereinfache die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$2 \cos (x) - \sin^{2} (2 x) = 0$

Schritt 4.3.2

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.1

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Sinus an.

$2 \cos (x) - {(2 \sin (x) \cos (x))}^{2} = 0$

Schritt 4.3.2.2

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.2.1

Wende die Produktregel auf $2 \sin (x) \cos (x)$ an.

$2 \cos (x) - ({(2 \sin (x))}^{2} \cos^{2} (x)) = 0$

Schritt 4.3.2.2.2

Wende die Produktregel auf $2 \sin (x)$ an.

$2 \cos (x) - (2^{2} \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)) = 0$

Schritt 4.3.2.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$2 \cos (x) - (4 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)) = 0$

Schritt 4.3.2.4

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$2 \cos (x) - 4 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) = 0$

Schritt 4.4

Faktorisiere $2 \cos (x)$ aus $2 \cos (x) - 4 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.1

Faktorisiere $2 \cos (x)$ aus $2 \cos (x)$ heraus.

$2 \cos (x) \cdot 1 - 4 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) = 0$

Schritt 4.4.2

Faktorisiere $2 \cos (x)$ aus $- 4 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$ heraus.

$2 \cos (x) \cdot 1 + 2 \cos (x) (- 2 \sin^{2} (x) \cos (x)) = 0$

Schritt 4.4.3

Faktorisiere $2 \cos (x)$ aus $2 \cos (x) \cdot 1 + 2 \cos (x) (- 2 \sin^{2} (x) \cos (x))$ heraus.

$2 \cos (x) (1 - 2 \sin^{2} (x) \cos (x)) = 0$

Schritt 4.5

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$\cos (x) = 0$

$1 - 2 \sin^{2} (x) \cos (x) = 0$

Schritt 4.6

Setze $\cos (x)$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.6.1

Setze $\cos (x)$ gleich $0$ .

$\cos (x) = 0$

Schritt 4.6.2

Löse $\cos (x) = 0$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.6.2.1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (0)$

Schritt 4.6.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.6.2.2.1

Der genau Wert von $\arccos (0)$ ist $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Schritt 4.6.2.3

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Schritt 4.6.2.4

Vereinfache $2 π - \frac{π}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.6.2.4.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 4.6.2.4.2

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.6.2.4.2.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 4.6.2.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 4.6.2.4.3

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.6.2.4.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Schritt 4.6.2.4.3.2

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Schritt 4.6.2.5

Ermittele die Periode von $\cos (x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.6.2.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 4.6.2.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 4.6.2.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 4.6.2.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 4.6.2.6

Die Periode der Funktion $\cos (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 4.7

Setze $1 - 2 \sin^{2} (x) \cos (x)$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.7.1

Setze $1 - 2 \sin^{2} (x) \cos (x)$ gleich $0$ .

$1 - 2 \sin^{2} (x) \cos (x) = 0$

Schritt 4.7.2

Löse $1 - 2 \sin^{2} (x) \cos (x) = 0$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.7.2.1

Ersetze die $\sin^{2} (x)$ durch $1 - \cos^{2} (x)$ basierend auf der $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ -Identitätsgleichung.

$1 (1 - \cos^{2} (x)) \cos (x) = 0$

Schritt 4.7.2.2

Mutltipliziere $1 - \cos^{2} (x)$ mit $1$ .

$(1 - \cos^{2} (x)) \cos (x) = 0$

Schritt 4.7.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$1 \cos (x) - \cos^{2} (x) \cos (x) = 0$

Schritt 4.7.2.4

Mutltipliziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\cos (x) - \cos^{2} (x) \cos (x) = 0$

Schritt 4.7.2.5

Multipliziere $\cos^{2} (x)$ mit $\cos (x)$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.7.2.5.1

Bewege $\cos (x)$ .

$\cos (x) - (\cos (x) \cos^{2} (x)) = 0$

Schritt 4.7.2.5.2

Mutltipliziere $\cos (x)$ mit $\cos^{2} (x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.7.2.5.2.1

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\cos (x) - (\cos (x) \cos^{2} (x)) = 0$

Schritt 4.7.2.5.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\cos (x) - {\cos (x)}^{1 + 2} = 0$

Schritt 4.7.2.5.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\cos (x) - \cos^{3} (x) = 0$

Schritt 4.7.2.6

Stelle das Polynom um.

$- \cos^{3} (x) + \cos (x) = 0$

Schritt 4.7.2.7

Ersetze $\cos (x)$ durch $u$ .

$- {(u)}^{3} + u = 0$

Schritt 4.7.2.8

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.7.2.8.1

Faktorisiere $- u$ aus $- u^{3} + u$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.7.2.8.1.1

Faktorisiere $- u$ aus $- u^{3}$ heraus.

$- u \cdot u^{2} + u = 0$

Schritt 4.7.2.8.1.2

Schreibe $u$ als $1 u$ um.

$- u \cdot u^{2} + 1 u = 0$

Schritt 4.7.2.8.1.3

Faktorisiere $- u$ aus $1 u$ heraus.

$- u \cdot u^{2} - u \cdot - 1 = 0$

Schritt 4.7.2.8.1.4

Faktorisiere $- u$ aus $- u \cdot u^{2} - u \cdot - 1$ heraus.

$- u (u^{2} - 1) = 0$

Schritt 4.7.2.8.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$- u (u^{2} - 1^{2}) = 0$

Schritt 4.7.2.8.3

Faktorisiere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.7.2.8.3.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = u$ und $b = 1$ .

$- u ((u + 1) (u - 1)) = 0$

Schritt 4.7.2.8.3.2

Entferne unnötige Klammern.

$- u (u + 1) (u - 1) = 0$

Schritt 4.7.2.9

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$u = 0$

$u + 1 = 0$

$u - 1 = 0$

Schritt 4.7.2.10

Setze $u$ gleich $0$ .

$u = 0$

Schritt 4.7.2.11

Setze $u + 1$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.7.2.11.1

Setze $u + 1$ gleich $0$ .

$u + 1 = 0$

Schritt 4.7.2.11.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$u = - 1$

Schritt 4.7.2.12

Setze $u - 1$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.7.2.12.1

Setze $u - 1$ gleich $0$ .

$u - 1 = 0$

Schritt 4.7.2.12.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u = 1$

Schritt 4.7.2.13

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- u (u + 1) (u - 1) = 0$ wahr machen.

$u = 0, - 1, 1$

Schritt 4.7.2.14

Ersetze $u$ durch $\cos (x)$ .

$\cos (x) = 0, - 1, 1$

Schritt 4.7.2.15

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $x$ aufzulösen.

$\cos (x) = 0$

$\cos (x) = - 1$

$\cos (x) = 1$

Schritt 4.7.2.16

Löse in $\cos (x) = 0$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.7.2.16.1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (0)$

Schritt 4.7.2.16.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.7.2.16.2.1

Der genau Wert von $\arccos (0)$ ist $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Schritt 4.7.2.16.3

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Schritt 4.7.2.16.4

Vereinfache $2 π - \frac{π}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.7.2.16.4.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 4.7.2.16.4.2

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.7.2.16.4.2.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 4.7.2.16.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 4.7.2.16.4.3

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.7.2.16.4.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Schritt 4.7.2.16.4.3.2

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Schritt 4.7.2.16.5

Ermittele die Periode von $\cos (x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.7.2.16.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 4.7.2.16.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 4.7.2.16.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 4.7.2.16.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 4.7.2.16.6

Die Periode der Funktion $\cos (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 4.7.2.17

Löse in $\cos (x) = - 1$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.7.2.17.1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (- 1)$

Schritt 4.7.2.17.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.7.2.17.2.1

Der genau Wert von $\arccos (- 1)$ ist $π$ .

$x = π$

Schritt 4.7.2.17.3

Die Cosinus-Funktion ist im zweiten und dritten Quadranten negativ. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - π$

Schritt 4.7.2.17.4

Subtrahiere $π$ von $2 π$ .

$x = π$

Schritt 4.7.2.17.5

Ermittele die Periode von $\cos (x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.7.2.17.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 4.7.2.17.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 4.7.2.17.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 4.7.2.17.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 4.7.2.17.6

Die Periode der Funktion $\cos (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = π + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 4.7.2.18

Löse in $\cos (x) = 1$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.7.2.18.1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (1)$

Schritt 4.7.2.18.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.7.2.18.2.1

Der genau Wert von $\arccos (1)$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 4.7.2.18.3

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - 0$

Schritt 4.7.2.18.4

Subtrahiere $0$ von $2 π$ .

$x = 2 π$

Schritt 4.7.2.18.5

Ermittele die Periode von $\cos (x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.7.2.18.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 4.7.2.18.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 4.7.2.18.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 4.7.2.18.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 4.7.2.18.6

Die Periode der Funktion $\cos (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 4.7.2.19

Liste alle Lösungen auf.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, π + 2 π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 4.7.2.20

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{π n}{2}$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 4.8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $2 \cos (x) (1 - 2 \sin^{2} (x) \cos (x)) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π n}{2}$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 5

Fasse die Ergebnisse zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Führe $\frac{π}{2} + 2 π n$ und $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ zu $\frac{π}{2} + π n$ zusammen.

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{π n}{2}$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 5.2

Führe $\frac{π}{2} + π n$ und $\frac{π n}{2}$ zu $\frac{π n}{2}$ zusammen.

$x = \frac{π n}{2}$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 6

Verifiziere jede der Lösngen durch Einsetzen in $\sin (2 x) + \sqrt{2 \cos (x)} = 0$ und Auflösen.

$x = 4.71238898, 10.99557428$ , für jede ganze Zahl $n$