Trigonometrie Beispiele

$\sin (2 t) - \cos (t) + 2 \sin (t) - 1 = 0$

Schritt 1

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Sinus an.

$2 \sin (t) \cos (t) - \cos (t) + 2 \sin (t) - 1 = 0$

Schritt 2

Faktorisiere $2 \sin (t) \cos (t) - \cos (t) + 2 \sin (t) - 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$2 \sin (t) \cos (t) - \cos (t) + 2 \sin (t) - 1 = 0$

Schritt 2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\cos (t) (2 \sin (t) - 1) + 1 (2 \sin (t) - 1) = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 \sin (t) - 1$ .

$(2 \sin (t) - 1) (\cos (t) + 1) = 0$

Schritt 3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$2 \sin (t) - 1 = 0$

$\cos (t) + 1 = 0$

Schritt 4

Setze $2 \sin (t) - 1$ gleich $0$ und löse nach $t$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Setze $2 \sin (t) - 1$ gleich $0$ .

$2 \sin (t) - 1 = 0$

Schritt 4.2

Löse $2 \sin (t) - 1 = 0$ nach $t$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 \sin (t) = 1$

Schritt 4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 \sin (t) = 1$ durch $2$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 \sin (t) = 1$ durch $2$ .

$\frac{2 \sin (t)}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \sin (t)}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 4.2.2.2.1.2

Dividiere $\sin (t)$ durch $1$ .

$\sin (t) = \frac{1}{2}$

Schritt 4.2.3

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $t$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$t = \arcsin (\frac{1}{2})$

Schritt 4.2.4

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.4.1

Der genau Wert von $\arcsin (\frac{1}{2})$ ist $\frac{π}{6}$ .

$t = \frac{π}{6}$

Schritt 4.2.5

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$t = π - \frac{π}{6}$

Schritt 4.2.6

Vereinfache $π - \frac{π}{6}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.6.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6}{6}$ .

$t = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Schritt 4.2.6.2

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.6.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{6}{6}$ .

$t = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Schritt 4.2.6.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$t = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Schritt 4.2.6.3

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.6.3.1

Bringe $6$ auf die linke Seite von $π$ .

$t = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Schritt 4.2.6.3.2

Subtrahiere $π$ von $6 π$ .

$t = \frac{5 π}{6}$

Schritt 4.2.7

Ermittele die Periode von $\sin (t)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 4.2.7.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 4.2.7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 4.2.7.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 4.2.8

Die Periode der Funktion $\sin (t)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$t = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 5

Setze $\cos (t) + 1$ gleich $0$ und löse nach $t$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Setze $\cos (t) + 1$ gleich $0$ .

$\cos (t) + 1 = 0$

Schritt 5.2

Löse $\cos (t) + 1 = 0$ nach $t$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\cos (t) = - 1$

Schritt 5.2.2

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $t$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$t = \arccos (- 1)$

Schritt 5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.3.1

Der genau Wert von $\arccos (- 1)$ ist $π$ .

$t = π$

Schritt 5.2.4

Die Cosinus-Funktion ist im zweiten und dritten Quadranten negativ. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$t = 2 π - π$

Schritt 5.2.5

Subtrahiere $π$ von $2 π$ .

$t = π$

Schritt 5.2.6

Ermittele die Periode von $\cos (t)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 5.2.6.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 5.2.6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 5.2.6.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 5.2.7

Die Periode der Funktion $\cos (t)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$t = π + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(2 \sin (t) - 1) (\cos (t) + 1) = 0$ wahr machen.

$t = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n, π + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$