Trigonometrie Beispiele

$\sin (2 x + \frac{π}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$2 x + \frac{π}{2} = \arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Schritt 2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1

Der genau Wert von $\arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$ ist $\frac{π}{4}$ .

$2 x + \frac{π}{2} = \frac{π}{4}$

Schritt 3

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Subtrahiere $\frac{π}{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = \frac{π}{4} - \frac{π}{2}$

Schritt 3.2

Um $- \frac{π}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$2 x = \frac{π}{4} - \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 3.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $4$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.3.1

Mutltipliziere $\frac{π}{2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$2 x = \frac{π}{4} - \frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$2 x = \frac{π}{4} - \frac{π \cdot 2}{4}$

Schritt 3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 x = \frac{π - π \cdot 2}{4}$

Schritt 3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$2 x = \frac{π - 2 π}{4}$

Schritt 3.5.2

Subtrahiere $2 π$ von $π$ .

$2 x = \frac{- π}{4}$

Schritt 3.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$2 x = - \frac{π}{4}$

Schritt 4

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - \frac{π}{4}$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 4.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - \frac{π}{4}$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{4}}{2}$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{4}}{2}$

Schritt 4.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- \frac{π}{4}}{2}$

Schritt 4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = - \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 4.3.2

Multipliziere $- \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 4.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{2 \cdot 4}$

Schritt 4.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$x = - \frac{π}{8}$

Schritt 5

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$2 x + \frac{π}{2} = π - \frac{π}{4}$

Schritt 6

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Vereinfache $π - \frac{π}{4}$ .

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Schritt 6.1.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$2 x + \frac{π}{2} = π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Schritt 6.1.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 6.1.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{4}{4}$ .

$2 x + \frac{π}{2} = \frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Schritt 6.1.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 x + \frac{π}{2} = \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Schritt 6.1.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.3.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von $π$ .

$2 x + \frac{π}{2} = \frac{4 \cdot π - π}{4}$

Schritt 6.1.3.2

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$2 x + \frac{π}{2} = \frac{3 π}{4}$

Schritt 6.2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 6.2.1

Subtrahiere $\frac{π}{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = \frac{3 π}{4} - \frac{π}{2}$

Schritt 6.2.2

Um $- \frac{π}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$2 x = \frac{3 π}{4} - \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 6.2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $4$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 6.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{π}{2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$2 x = \frac{3 π}{4} - \frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$2 x = \frac{3 π}{4} - \frac{π \cdot 2}{4}$

Schritt 6.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 x = \frac{3 π - π \cdot 2}{4}$

Schritt 6.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$2 x = \frac{3 π - 2 π}{4}$

Schritt 6.2.5.2

Subtrahiere $2 π$ von $3 π$ .

$2 x = \frac{π}{4}$

Schritt 6.3

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \frac{π}{4}$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 6.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \frac{π}{4}$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{4}}{2}$

Schritt 6.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{4}}{2}$

Schritt 6.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{4}}{2}$

Schritt 6.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 6.3.3.2

Multipliziere $\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 6.3.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{π}{4}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{4 \cdot 2}$

Schritt 6.3.3.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$x = \frac{π}{8}$

Schritt 7

Ermittele die Periode von $\sin (2 x + \frac{π}{2})$ .

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Schritt 7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 7.2

Ersetze $b$ durch $2$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Schritt 7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $2$ ist $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Schritt 7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 π}{2}$

Schritt 7.4.2

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 8

Addiere $π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 8.1

Addiere $π$ zu $- \frac{π}{8}$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- \frac{π}{8} + π$

Schritt 8.2

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{8}{8}$ .

$π \cdot \frac{8}{8} - \frac{π}{8}$

Schritt 8.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 8.3.1

Kombiniere $π$ und $\frac{8}{8}$ .

$\frac{π \cdot 8}{8} - \frac{π}{8}$

Schritt 8.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{π \cdot 8 - π}{8}$

Schritt 8.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.4.1

Bringe $8$ auf die linke Seite von $π$ .

$\frac{8 \cdot π - π}{8}$

Schritt 8.4.2

Subtrahiere $π$ von $8 π$ .

$\frac{7 π}{8}$

Schritt 8.5

Liste die neuen Winkel auf.

$x = \frac{7 π}{8}$

Schritt 9

Die Periode der Funktion $\sin (2 x + \frac{π}{2})$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{8} + π n, \frac{7 π}{8} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$